22bis. Voi e le derivate (seconda parte). RISULTATI **/***
(1) y = x3 – sin(x) + ln(x)
3x2 – cos(x) +1/x
(2) y = x3 cos(x)
3x2cos(x) – x3sin(x) = x2(3cos(x)-x sin(x))
(3) y = 3x3 + 2x ln(x)
9x2 + 2ln(x) + 2x/x = 9x2 + 2(ln(x) + 1)
(4) y = (x3 – 4x2)/(2x + 5)
((3x2 -8x)(2x + 5) - (x3- 4x2)2)/(2x + 5)2 =
(6x3 +15x2 -16x2 -40x -2x3+8x2)/(2x + 5)2 =
4x3 + 7x2 -40x/(2x + 5)2 = x(4x2 +7x -40)/ (2x + 5)2
(5) y = ex/(x2 – 1/x)
ex(x2 -1/x) – ex(2x + 1/x2)/(x2 -1/x)2=
(exx2 – ex/x - 2xex – ex/x2)/(x2 -1/x)2 =
(exx4 – exx - 2exx3 - ex)/(x2 -1/x)2 x2 =
ex(x4 –2x3 –x -1)/(x3 -1)2
(6) y = e3x
3e3x
(7) y = (3 + 1/x)3
- 3(3 + 1/x)2/x2 = - 3(3x + 1)2/x4
(8) y = ln(x + sin(x))
(1 + cos(x))/(x + sin(x))
(9) y = sin(4x – ln(x2))
cos(4x – ln(x2))(4 – (1/x2)(2x)) = cos(4x – ln(x2))(4 – 2/x)
(10) y = 3(1 + sin(x))
ln(3) 3(1 + sin(x)) cos(x)
8 commenti
Un disastro! Ora mi rileggo tutto da capo e riprovo....Poi se proprio non capisco vado di domande
Non ti preoccupare Andrea... Alcuni erano abbastanza complicati. Aspetto un po' e poi li spiego nei dettagli. Comunque riprova da solo: sono ottimista!!!!
L'argomento derivate mi causa una crisi di livello etico. Se uno, pur non essendo laureato in Matematica, ha superato negli anni 80 gli esami di Analisi I e II, può gareggiare lo stesso? Non mi sembra molto alla pari ...
In ogni caso (per quanto possa ricordare) dopo aver letto i tuoi articoli ho avuto molte meno difficoltà a risolvere gli esercizi rispetto ad allora e il tutto malgrado il mio Q.I. sia sceso di un centinaio di punti!
Possiamo quindi dedurre che, almeno per il mio livello di conoscenza, gli articoli fossero perfetti, non avevo più fatto esercizi del genere da almeno vent'anni. Da parte mia sinceri complimenti, soprattutto per avermi "costretto" a trovare le soluzioni.
P.S. ho sbagliato il numero 4 ...
caro Alfiere,
tutti possono mettersi alla prova, dato che ho cercato di dare a tutti le basi per farlo. Gli studi e gli esami hanno poca importanza...
Ciò che dici mi riempie di gioia: vuol dire che le mie spiegazioni sono servite e quello era lo scopo!
Una su dieci è cosa da ridere... BRAVO!!!!
Nel complesso ...non tanto male. Ti garantisco che ad "Analisi" (almeno per quanto mi riguarda, 60 anni fa...) nessuno è mai stato chiaro come Te nell' affrontare l'argomento. Comunque per qualsiasi tema Tu tratti, non si può far altro vhe complimentarsi. GRAZIE! Iginio
ho proprio bisogno di un bel ripasso
Caro Enzo, ti dirò che alcune derivate le ho risolte da solo, mentre per altre ho dovuto guardare la soluzione.
Le soluzioni però a me servono per capire quale procedimento usare per cercare di risolvere le derivate.
Per cui ci ha ragionato molto sopra.
Il mio problema era quello di capire esattamente quale operazione utilizzare per scomporre e risolvere le derivate.
In particolare dalla (6) in avanti ho usato proprio le funzioni di funzioni (che non avevo compreso fino in fondo).
Mi sembra di aver compreso che per trovare la soluzione è necessario analizzare bene le operazioni tra le varie funzioni, per decidere cosa usare per calcolare la derivata finale.
Ovviamente ho rifatto di nuovo tutti i calcoli da solo, ma più che questi (già contenuti nell'articolo) ho voluto sottolineare per ogni esercizio il metodo usato e le operazioni scelte per trovare le derivate (sperando di non aver commesso errori).
(1) y = x^3 – sin(x) + ln(x)
somma e sottrazione di funzioni
y = f(x) - g(x) +z(x) y' =f '(x) - g'(x) +z'(x)
f(x) = x^3 f'(x)= 3x^2
g(x) = sin (x) g'(x) = cos (x)
z(x) = ln (x) z'(x) = 1/(x)
y' = 3x^2 – cos(x) + 1/(x)
(2) y = x^3 cos(x)
prodotto di funzioni
y = f(x) g(x) y' =f '(x) g(x) + g'(x) f(x)
f(x) = x^3 f'(x) = 3x^2
g(x) = cos (x) g'(x) = -sin (x)
y' =3x^2 cos (x) - sin (x) x^3
(3) y = 3x3 + 2x ln(x)
somma e prodotto di funzioni
y = f(x) + g(x) z(x) y' = f'(x) + g '(x) z(x) + g(x) z'(x)
Risolvo prima il prodotto
g(x) = 2x g'(x) = 2
z(x) = ln(x) z'(x) = 1/x
g '(x) z(x) + g(x) z'(x) = 2 ln(x) + 2x 1/x = 2 (ln(x) + 1)
f (x) = 3x^3 f'(x) = 9x^2
y' = 9x^2 +2 (ln(x) + 1)
(4) y = (x^3 – 4x^2)/(2x + 5)
rapporto tra funzioni e sottrazione.
Prima svolgo la sottrazione per ricavare f'(x)
f(x)= (x^3 – 4x^2)
dato che la derivata di x^3 è uguale a 3x^2 e la derivata di 4x2 è uguale a 8x f'(x) = (3x^2 -8 x)
g(x)= (2x+5) quindi g'(x) =2
y = f(x)/g(x) y' = f'(x) g(x) - f(x) g'(x) / g(x)^2
y' = (3x^2 -8 x) (2x+5) - 2(x^3 – 4x^2) / (2x+5)^2
y' = (6x^3 +15 x^2 -16x -40x - 2x^3 + 8x^2)/ (2x+5)^2
y' = (4x^3 +7 x^2 -40x)/(2x+5)^2
(5) y = e^x/(x^2 – 1/x)
rapporto tra funzioni e sottrazione.
Prima svolgo la sottrazione per ricavare g'(x)
g(x) = (x^2 – 1/x) = (x^2 - x^-1) g'(x)= 2x + x^-2 = (2x + 1/x^2)
f (x) = e^x f'(x) = e^x
y = f(x)/g(x) y' = f'(x) g(x) - f(x) g'(x) / g(x)^2
y' = e^x (x^2 – 1/x) - e^x (2x + 1/x^2) / (x^2 – 1/x)^2
y' = e^x x^2 – e^x/x - e^x 2x - e^x/x^2 / (x^2 – 1/x)^2
y' = (e^x x^4 – e^xx - e^x 2x^3 - e^x)/ x^2 (x^2 – 1/x)^2
y' = e^x (x^4 – x - 2x^3 - 1)/ x^2 (x^2 – 1/x)^2
(6) y = e^3x
funzioni di funzioni.
y = f (g(x)) y’ = f ’(g(x)) g’(x)
g(x) = 3x g'(x) = 3
f (g(x)) = e^3x f' (g(x)) = e^3x
y’ = 3e^3x
(7) y = (3 + 1/x)^3
funzioni di funzioni.
g(x) = 1/x = x^-1 g'(x) = -x^-2 = -1/x^2
f (g(x)) = (3 + 1/x)^3 f'(g(x)) = 3(3 + 1/x)^2
y’ = 3(3 + 1/x)^2 (-1/x^2)
y’ = -3 (3 + 1/x)^2 /x^2
(8) y = ln(x + sin(x))
funzioni di funzioni e somma.
g(x) = (x + sin(x)) g'(x) = (1 + cos (x))
f (g(x)) = ln(x + sin(x)) f'(g(x)) = 1/(x + sin(x))
y’ = (1 + cos (x)) (1/(x + sin(x))
y’ = (1 + cos (x)/(x + sin(x))
(9) y = sin(4x – ln(x^2))
funzioni di funzioni di funzioni.
Seguendo la regola della cipolla si parte dalla funzione più esterna:
f(g(x)) = sin(4x – ln(x^2)) f'(g(x)) = cos(4x – ln(x^2))
poi si passa a quelle più interna, ossia a ln(x^2):
fi(gi(x)) = ln(x^2) f'i(gi(x)) = 1/ x^2
gi(x) = x^2 g'i(x) = 2x
y'i = 2x/x^2 = 2/x
g(x) = (4x – ln(x^2) per cui g'(x) = (4 – 2/x)
y' = cos(4x – ln(x^2)) (4 – 2/x)
(10) y = 3^(1 + sin(x))
funzioni di funzioni e derivata di a^x
La derivata di a^x = a^x ln(a)
f(g(x)) = 3^(1 + sin(x)) f'(g(x)) = (3^(1 + sin(x))) ln (3)
g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)
y' = ln(3) (3^(1 + sin(x))) cos(x)
Si potevano risolvere anche in altro modo, oppure è corretto dalla (6) in avanti considerarle funzioni di funzioni?
Paolo
semplicemente perfetto Paolo!!!!