8/07/14

22bisbis. Voi e le derivate (seconda parte). Spiegazione dei risultati *

La prima derivata è banale e non penso vi sia motivo di commentarla. Partiamo dalla seconda.

(2) y = x3 cos(x)

Beh… questa è “solo” il prodotto di due funzioni. La prima è z = x3 e la seconda è t = cos(x). Vale perciò la regola del prodotto.

y = z t

y’ = z’t + zt’

dove z’ = 3x2

e

t’ = -sin(x)

Se ne conclude che:

y’ = 3x2cos(x) – x3sin(x).

La (3) non è altro che la somma di due funzioni, dove la seconda è, inoltre, un prodotto di due funzioni. La derivata della somma non è altro che la somma delle due funzioni (su questo non vi sono problemi). Tuttavia, la seconda derivata (essendo la derivata di un prodotto) dovrà seguire la regola del prodotto come fatto nella funzione precedente, ossia la (2).

La (4) è un rapporto di due funzioni, dove, però, entrambe le funzioni sono formate dalla somma di due funzioni.  Scriviamola così:

y = z/t

dove, però, z =  x3 - 4x2 e t =  2x + 5

Scriviamo la derivata del rapporto:

y’ = (z’t – zt’)/t2

dove

z’ = 3x2 -8x   e  t’ =  2    (derivate di somme di funzioni)

Sostituendo:

y’ = ((3x2 -8x)(2x + 5) – (x3- 4x2)2)/(2x + 5)2

Quelli che seguono sono solo passaggi algebrici, descritti nell’articolo dei polinomi…

La (5) è del tutto analoga alla (4), essendo nuovamente un rapporto tra funzioni, dove la seconda è la somma di due funzioni…

La (6) è invece una funzione di funzione, ossia del tipo y(x) = z(t(x))

Dove t = 3x e z = et

t’ = 3

z’ = et  = e3x

Sappiamo che y’ = z’ t’ e, quindi:

y’ = 3 e3x

Anche la (7) è una funzione di funzione e bisogna moltiplicare le derivate delle due funzioni, come prima. L’unica differenza è che una delle due funzioni è somma di due funzioni. Poco male, dato che la sua derivata non è altro che la somma delle derivate.

Stessa cosa vale anche per la (8), dove una delle due funzioni è nuovamente somma di due funzioni…

Sulla (9) avevo già dato chiarimenti precedentemente, in un articolo a sé stante. Posso dire che è probabilmente l’unica veramente complicata…

La (10) è invece banale: funzione di funzione, dove una di queste è data da una somma.

Ovviamente non ho rispiegato quanto valgono le singole derivate, in quanto sono state riportate tutte nell’articolo dedicato…

Va bene così?

Digeritele bene, perché avrei intenzione di passare allo studio di una funzione al più presto…

 

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