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12/03/15

Possiamo considerarci “quasi” relativistici…

Con l’articolo precedente abbiamo praticamente conclusa la trattazione “di base” della relatività ristretta. Abbiamo visto come partendo da due soli postulati, di cui uno non molto dissimile da quello della relatività di Galileo e Newton (dalla sola meccanica siamo passati a tutta la fisica), si è costruita una trasformazione di coordinate che lega in modo indissolubile spazio e tempo. Lo stesso tempo può essere espresso come lunghezza giocando con la costanza della velocità della luce. Ricordiamo solo che la teoria di Einstein ha “ritrovato” la trasformazione di Lorentz che era già stata espressa in tempi precedenti, soprattutto per rendere conto dei fenomeni elettromagnetici espressi dalle equazioni di Maxwell, in cui la velocità della luce appariva come una costante.

Questa trasformazione ci ha permesso di descrivere come non siano assoluti né la lunghezza né il tempo e che la loro misura dipenda dalla velocità relativa di sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro. Le ricadute sono enormi e stravolgono completamente il mondo reale quando le velocità sono comparabili con quelle della luce. Questo fatto non è certo una rarità, se pensiamo alle particelle del microcosmo e ai fenomeni più eclatanti che ci mostrano gli attori principali del teatro dell’Universo. Notiamo, però, che anche fenomeni a noi molto vicini risentono di questa visione ben più generale e completa.

Ci siamo accorti che in questa trasformazione le coordinate spaziali ortogonali alla direzione del moto non subiscono nessuna alterazione. Ciò vuol dire che ci si può limitare a descrivere il mondo relativistico attraverso due sole coordinate: quella della direzione del moto e quella legata al tempo. Abbiamo anche visto che le relazioni che legano lo spazio e il tempo di due sistemi inerziali sono perfettamente simmetriche. Proprio nel piano spazio-tempo si può applicare la geometria di Minkowski, quella capace di descrivere e quantificare ogni evento dello spaziotempo, sia nel passato che nel futuro. Ovviamente, le relazioni tra lo spazio e il tempo devono seguire le leggi della trasformazione di Lorentz.

Prima di procedere con questo esercizio soprattutto grafico, vogliamo però affrontare qualche altro problema collegato alla relatività ristretta che ormai conosciamo nelle sue linee generali. Innanzitutto, cerchiamo di raffigurare visivamente cosa significano esattamente la dilatazione del tempo e la contrazione delle lunghezze e come possano essere ricavate da esperienze dirette. Le abbiamo già ricavate, notando quanto sia stata importante la sincronizzazione degli orologi, ma ritrovare graficamente un risultato ottenuto con le sole formule è un esercizio sempre molto utile.

La definizione di tempo proprio (e di lunghezza propria) ci permette anche di definire un invariante nel nuovo spaziotempo, dato che ciò che vale nel vecchio mondo galileiano non può più applicarsi “in toto” a quello relativistico. In quel mondo la distanza tra due punti resta la stessa in ogni sistema di riferimento (ce lo dice il teorema di Pitagora). Adesso non più, dato che le distanze sono relative al sistema di riferimento utilizzato. Una semplice e geniale combinazione tra tempo e spazio ci permette, comunque, di trovare un invariante anche per la trasformazione di Lorentz, una specie di teorema di Pitagora spaziotemporale.

Vogliamo, però, investigare anche come si possano sommare le velocità nello spaziotempo relativistico e come si modifichino le grandezze della fisica, come la quantità di moto e l’energia, ecc. In particolare questo esercizio ci consente di ricavare, anche se con qualche difficoltà matematica, la celebre equazione di Einstein, E = mc2.

Prendiamoci un momento di “pausa” (non certo di riposo mentale) prima di continuare a comprendere sempre meglio con chi abbiamo a che fare e come tutto ciò possa essere rappresentato con poche linee sul fantastico piano di Minkowski.

Digerite con calma i primi undici capitoli e non abbiate timore a esporre qualsiasi confusione o incertezza sia ancora presente nella vostra mente. Per andare avanti, è necessario avere compreso tutto, soprattutto da un punto di vista “logico”. L’avventura è ancora lunga. Approfittate di questo pseudo-intervallo. Ne faremo un altro prima del diagramma di Minkowski.

Buon divertimento!

4 commenti

  1. Mik

    Per ora credo di averti seguito, sei andato davvero passo passo. Solo una cosa non mi è chiarissima, ed è quella della misurazione delle lunghezze. Se misuro un oggetto fermo nel mio sistema di riferimento allora lo posso confrontare direttamente col campione di lunghezza, e fin qui tutto bene. Se però tento di misurare un oggetto che si muove rispetto a me allora debbo tirare in ballo orologi e segnali di luce che vanno e vengono, e da ciò deduco le dimensioni. Ma allora mi chiedo, la lunghezza che misuro in queste condizioni è "reale" o è solo una illusione, come se guardassi il mondo attraverso una lente deformante?

    Aspetto le prossime puntate!

    Ciao

  2. caro Mik,
    per poter misurare un'asta rigida che viaggia una certa velocità non puoi che utilizzare il metodo descritto. L'asta comunque resta quella che è e se la trasportassi nel tuo sistema di riferimento la misureresti in modo perfetto. Come succede per il tempo, così anche per le lunghezze le misure di uno stesso oggetto cambiano da sistema a sistema. Chiamiamola pure lunghezza apparente, ma è quella che può misurare chi non è solidale con l'oggetto che si muove. Noi sulla Terra, per esempio, possiamo misurare molte cose che viaggiano a velocità prossime a quella della luce (particelle che arrivano dallo spazio) e a loro non possiamo fare altro che associare tempi e lunghezze relative al nostro sistema e quindi diventano misure in qualche modo reali... faremo un esempio molto indicativo... :wink:

  3. Lampo

    Un esempio che ci facevano spesso all'università su questo problema è che il tempo medio di vita di alcune particelle che si formano negli strati alti dell'atmosfera sarebbe troppo breve per permettere alle particelle stesse di arrivare a terra, dovrebbero decadere prima. Noi invece qui a terra le rileviamo ugualmente proprio perchè, essendo relativistiche, "vivono" un pochino di più e quindi riescono ad arrivare fino a qui.

  4. ciao Lampone!
    dai, non fregarmi l'esempio che volevo fare più in là... :mrgreen:

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