28/03/15

SOLUZIONE del quiz sul "dimezzamento" del Sole **

Il piccolo quiz non voleva introdurre nessun problema di dinamica complessa e/o relativistica, né –tantomeno- comportare sconvolgimenti fisici del Sistema Solare. Voleva essere solo un “gioco” legato a una soluzione istantanea. Poi, ognuno, può vederci i risvolti più reconditi, non ultimo il legame con i gravitoni che potrebbero ritardare gli effetti della riduzione di massa solare.

Approfittiamo del QUIZ per fare un po’ di ripasso di dinamica orbitale elementare…

Calcoliamo, innanzitutto, la velocità orbitale di un oggetto che rivolve attorno al Sole su un’orbita circolare (come la Terra, in ottima approssimazione). Vi sono vari metodi, ma noi utilizziamo, ad esempio, la terza legge di Keplero.

Innanzitutto, dato che il moto è circolare e uniforme, deve valere la relazione ben conosciuta :

v = 2πa/P           …. (1)

Non abbiamo fatto altro che scrivere una proporzione, imponendo che se la Terra si muova di moto circolare con velocità costante di tot metri in tot secondi (v) deve anche percorrere l’intera circonferenza in un periodo P, dove a è il semiasse maggiore dell’orbita che coincide con il raggio della circonferenza.

Possiamo comunque scrivere, in modo indipendente, la terza legge di Keplero che dice :

P2 = 4π2a3/GM          …. (2)

Basta, ora, sostituire nella (1) il periodo P ricavato dalla (2) e otteniamo:

v = 2πa/2aπ(a/GM)1/2  = (GM/a)1/2     …. (3)

Questa è la velocità orbitale in ogni punto di una traiettoria circolare. Essa dipende ovviamente dalla massa del Sole (M) e dalla distanza, ma è un entità fisica acquisita che comporta un’energia cinetica della Terra che può essere scritta:

K = ½ mv2

e che è, ovviamente, una costante.

In ogni punto della sua orbita l’energia totale del sistema deve conservarsi. All'energia cinetica va quindi aggiunta l’energia potenziale che dipende dalla massa del Sole e dalla sua distanza. In ogni punto dell’orbita deve valere:

E = ½ mv2 – GMm/a      …. (4)

Insomma, il solito vecchio e ben noto equilibrio tra energia cinetica ed energia potenziale…

Cosa succederebbe se, improvvisamente, eliminassimo il Sole? Sarebbe un po’ come tagliare la corda a una pallina che viene fatta girare velocemente attorno a noi. Beh… nessun mistero: la pallina se ne andrebbe per la tangente in balia della sua sola energia cinetica. Nell’istante esatto del taglio della corda la velocità della pallina sarebbe comunque uguale alla “vecchia” v.

La stessa cosa deve perciò capitare anche alla Terra che si vede sparire ISTANTANEAMENTE il Sole. Possiamo perciò concludere che nell’istante della sparizione la velocità v si mantiene.

Estrapoliamo il discorso anche al caso in cui il Sole non sparisca del tutto, ma riduca  la sua massa a metà di quella normale. Anche in questo caso potremmo dire che la velocità v si mantiene.

Tuttavia, l’equazione (4) deve cambiare almeno una sua parte, quella dovuta all’energia potenziale. Essa dipende dalla massa M del Sole e se lei diminuisce  deve immediatamente variare anche l’energia. Nel caso di una massa pari a M/2 la (4) diventa:

E = ½ mv2 – GMm/2a     …. (5)

Perfetto… però, non possiamo certo dimenticare che la velocità v è espressa dalla relazione (3). Nessuno ci vieta di inserirla nella (5), che diventa:

E = ½ m ((GM/a)1/2)2 – GMm/2a

e ancora:

E = GMm/2a - GMm/2a

Accidenti, quella che abbiamo scritto è un’equazione che porta i due membri ad annullarsi, ossia alla relazione “fisica”:

E = 0

Cosa significa tutto ciò? Che l’energia orbitale, nell’istante in cui il Sole viene dimezzato improvvisamente, diventa ZERO. Ma, sappiamo benissimo che un’orbita che ha energia nulla non è altro che una parabola. La Terra perciò assume istantaneamente una traiettoria parabolica.

Se cambiassimo la massa del Sole di un fattore diverso avremmo soluzioni analoghe e altrettanto interessanti. Se diventasse solo un po’ più piccolo, ossia avesse una massa finale di 2/3 di quella originale, avremmo:

E = GMm/2a - 2GMm/3a = (3GMm – 4 GMm)/6a = - GMm/6a < 0

Il che ci direbbe che l’orbita istantanea diventa un’ellisse, dato che l’energia orbitale è negativa

Se, invece il Sole si riducesse a 1/3 della massa originaria, avremmo:

E = GMm/2a – GMm/3a = (3GMm – 2GMm)/6a = GMm/6a > 0

Ossia, avremmo un’orbita iperbolica.

Ah…, tra parentesi, tutto ciò che abbiamo detto e, in particolare, la “creazione” istantanea e momentanea dell’orbita parabolica ci riporta, tanto per cambiare, al teorema del viriale. Un “prezzemolo” molto più consistente di tanti altri che sembrano avere un’importanza solo … decorativa.

 

QUI un'appendice di approfondimento alla soluzione

15 commenti

  1. Alvermag

    Buongiorno Enzo.

    Quando affermi, riferendoti al caso in cui la massa del Sole divenisse pari o inferiore a 0,5 masse attuali,

    "Attenzione però! Questo non vuol dire che tutti pianeti se ne andrebbero per sempre dalla loro orbita nel caso di una riduzione troppo drastica del Sole. Questa sarebbe una situazione momentanea. Negli istanti successivi si otterrebbe un nuovo equilibrio tra energia potenziale del Sole “ridotto” ed energia cinetica: l’orbita si modificherebbe di conseguenza. Il pianeta si sposterebbe verso l’esterno, ma rimarrebbe comunque legato al Sole. Quella che è una velocità tale da trascinare la Terra verso un orbita parabolica o iperbolica, sposta il pianeta verso l’esterno, dove poi la velocità orbitale si “sistema” su un valore più basso, come compete a un’orbita a distanza maggiore dal Sole.",
    non ti seguo.

    Mi ero fatto l'idea che nel momento dell'"evento" l'energia totale del sistema Terra-Sole assumesse un valore diverso da quello canonico e che questo valore VENISSE CONSERVATO per sempre. Quindi se l'orbita divenisse, istantaneamente, iperbolica io mi attendo che tale rimanga! Tu affermi invece che le successive sistemazioni della velocità manterrebbero il pianeta legato al Sole: ciò significa che l'iperbole si trasformerebbe, ad esempio, in un ellisse magari molto larga. L'ellisse ha però energia sicuramente diversa dalla parabola e questo significa che l'energia totale del sistema non si conserverebbe!

    Che la velocità vari lungo la traiettoria è chiaro ed è anche chiaro che andrà diminuendo sotto l'influenza della gravità, sia pure ridotta del nuovo Sole. Ridurre la velocità non significa però cambiare necessariamente orbita. Nella parabola la velocità diminuisce sempre più man mano che ci si allontana dal Sole fino ad annullarsi a distanza infinita. Mi chiedo per quale ragione l'orbita dovrebbe cambiare; mi sembra un controsenso.

    Cosa mi sfugge?

  2. la velocità l'impostiamo noi in un dato istante. Poi se vogliamo che si sistemi in orbita la velocità dovrà diventare quella giusta data dalle leggi di Keplero. L'energia non si può mantenere, dato che abbiamo posto una condizione momentanea. Bisogna risolvere le equazioni del moto caso per caso... Il punto chiave è che noi stiamo usando un valore vecchio che è istantaneamente ancora valido, ma che poi sarà soggetto al nuovo campo gravitazionale. E' come se cercassimo una soluzione per un oggetto orbitante mezzo sole a una certa distanza che segua le leggi di keplero.

  3. aggiungo... è un po' come quando un asteroide passa vicino alla Terra. la sua orbita diventa momentaneamente iperbolica, ma dopo il passaggio si rimette su orbita ellittica diversa dalla prima. La perturbazione terrestre può essere vista come un cambiamento di massa improvvisa del Sole... Qualcosa del genere, insomma...

  4. Alvermag

    Si Enzo.
    Ho letto il link (odio queste parolacce) che mi hai trasmesso.
    In quel caso, presupponendo un'improvvisa diminuzione della massa solare ed il conseguente allargamento dell'orbita terrestre, si è calcolata la geometria della nuova orbita .... CIRCOLARE, imponendola d'autorità!

    Stabilito che tutte le ellissi aventi lo stesso semiasse maggiore e la circonferenza avente raggio pari a detto semiasse presentano la stessa energia totale, divengono tutte ugualmente probabili, almeno energeticamente.

    Torniamo così alla mia domanda originaria: quale sarà l'orbita effettiva tra tutte quelle energeticamente equivalenti?
    Mi sembra chiaro che si debbano introdurre altre condizioni: tu hai accennato ad angoli.. mmh... mi convince poco, anche perchè inizialmente la velocità sarebbe ortogonale alla congiungente sole-pianeta (moto circolare) e quindi come farei ad introdurre un qualsiasi angolo? Dovrei aver già deciso qual'è l'orbita finale! O no?

    Chissà come se la caverebbe un (idoneo) computer se dovesse individuare l'orbita finale nelle condizioni date. Darebbe i numeri o risolverebbe brillantamente il problema? Che tu sappia è mai stato fatto un tentativo simile?

    Scusa Enzo, forse sono andato un pò oltre :roll:

  5. caro Alvy,
    penso che siano le condizioni al contorno che scelgano la più probabile. D'altra parte fisicamente le cose possono evolversi solo lentamente, a piccoli passi. Ti prometto che quando il tempo sarà meno tiranno mi ci impegnerò seriamente... ma, adesso, preferisco seguire argomenti più realistici... Pensiamo ad esempio alle migrazioni orbitali e a tante situazioni drasticamente diverse che sono comunque plausibili per minime variazioni delle condizioni al contorno. Senza parlare di soluzioni caotiche... La meccanica celeste è una brutta bestia, ma è stata domata (o quasi) dal computer (e dal suo tempo rapidissimo, soprattutto)!

  6. caro Alvy,
    rifacendo un po' i conti... penso che in realtà la perdita del 50% della massa comporti proprio l'uscita da qualsiasi orbita. La parabola sarebbe proprio la fine della Terra come pianeta. Il quiz era meno ipotetico del... previsto!

  7. orbita ellittica, intendo...

  8. Forse, forse, il "link" (parolaccia!) è più interessante di quanto sembri a prima vista. Potrebbe essere il caso di costruirci sopra un articoletto? Che ne dici? In fondo, leggendolo tutto viene proprio fuori l'orbita parabolica... Uffa, quando ti ci metti mi metti sempre un tarlo nel cervello... E' una caratteristica tipica della tua specie?????? :mrgreen:

  9. Alvermag

    No Enzo, è una caratteristica della tua professionalità! :-D

  10. :mrgreen: .... allora vado!!! (Ho anche tolto un pezzo dell'articolo che poteva dare luogo a confusione (e non era nemmeno esatto, in fondo...) e al suo posto inserirò un articolo più generale che segua proprio quello che succede dopo la perdita di massa...).
    Grazie Alvy delle tue spinte continue che da un lato interrompono certe strade che sto seguendo ( :evil: ), ma che dall'altra danno spunti interessantissimi e sempre nuovi al blog ( :-P ). Siamo proprio un "uno per Tutti e Tutti per uno!"(dove l'uno è proprio il blog... forse dovemmo cambiargli NOME, blog è veramente troppo banale... si accettano consigli!!!! :wink: ).

  11. Alvermag

    Senti Enzo, non so se mi prendi per i fondelli o cosa :evil: , purtroppo non ho sufficiente perspicacia, nè arguzia, per rendermene conto.

    Io mi limito ad esternarti i miei dubbi cercando oltretutto di limitarmi, visto che più di una volta mi hai cortesemente invitato a non ... rompere troppo :mrgreen:

    Comunque sia, attendo con autentica ingordigia (altro che papalli in padella!) intellettuale il tuo nuovo articolo. :lol:

  12. Alvermag

    Aggiungo Enzone, che la seconda parte del documento che mi hai linkato (accidenti, che perla linguistica) "The fate of the Earth" riporta un'interessantissima tabella in cui si vede il rapporto tra semiasse dell'orbita "nuova" e semiasse di quella originaria in funzione della perdita di massa.

    Vedo che quando la nuova massa è pari a 0,9*M(orig.) la nuova orbita presenta un semiasse pari a 1,11*R(orig.), contraddicendo i miei calcoli (orrore!), in base ai quali il semiasse si dovrebbe mantenere costante cambiando però la forma dell'orbita, da circolare ad ellittica.

    Insomma, in accordo a quanto da te già scritto, l'energia totale non si mantiene costante (uguale cioè a quella dell'istante immediatamente successivo all'evento) mentre si manterrebbe la forma dell'orbita.

    Altro aspetto notevole è che passando dal 51% al 50% della massa originaria, il raggio dell'orbita passa da 25 volte il valore originario ad ... infinito!

    Alla faccia del bicarbonato di sodio ... direbbe Totò.

  13. Ottimo Alvy... vedo di prendere quell'articolo come punto di partenza e... vediamo cosa ne viene fuori... Per tutto il resto, una volta tanto non scherzo! Sicuramente bloccare il corso di certi pensieri reca subito un disturbo di fondo (RCF?), ma, in realtà, apre sempre nuovi orizzonti: l'Universo è proprio INFINITO!!!! L'importante è essere sempre se stessi e sinceri fino in fondo... Il nostro piccolo castello non deve essere di carte, ma solido e resistente e... ha bisogno di tutti.
    No... hai ragione... blog è troppo "banale" e strumentalizzato. Deriva da web log, ossia "diario di bordo", un diario di un gruppo di esploratori che usano come imbarcazione la mente e che vogliono scoprire l'Universo. Sì, diario di bordo suona sicuramente molto meglio, anche se non è così rapido a scriversi... ma a noi interessa poco...
    Mamma mia, oggi ci siamo dati al pensiero filosofico o quasi...

  14. Celterman

    Enzo, pensavo che il quiz potesse essere una buona base di partenza per parlare di supernove, visto anche il precedente articolo sulla stella vagabonda. Soprattutto delle Tipo I, che molta letteratura suppone si debbano distruggere completamente, portando inevitabilmente alla fine anche di un eventuale sistema.

  15. caro Celty,
    il quiz e quello che seguirà (appena possibile) riveste un carattere puramente dinamico dove vengono esclusi tutti risvolti fisici. La perdita di massa di una stella a causa della sua fase proto nebulosa planetaria comporta tanti e tali effetti che il pensare all'orbita diventa quasi anacronistico. Non parliamo poi di una supernova. La perdita di massa comporta fasi di gigante rossa e molte altre cose di cui non sappiamo ancora gli effetti che possono avere su un pianeta. Parlare della sua orbita è un po' come preoccuparsi di bagnare i fiori mentre c'è un terremoto devastante...

    Sono quindi due punti di vista completamente diversi...

    Il fatto che di alcune supernove non rimanga niente non è certo un fatto accertato e, se capita, riguarda solo situazioni estremamente particolari. Ma, in ogni caso, la sopravvivenza o no di un pianeta (o di una stella compagna) dipende soprattutto dagli effetti fisici e non da quelli puramente dinamici.

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