25/08/15

QUIZ: Trasferimento orbitale ***

Il problema è abbastanza semplice. Abbiamo un satellite che rivolve attorno alla Terra su un’orbita circolare a un altezza dal suolo uguale a d1 . Qual è l’energia che bisogna fornirgli per farlo rivolvere a una distanza  d2 = 2d1? Aggiungo che il raggio della Terra è posto uguale a R (tanto per complicare un pochino...). Mi basta, ovviamente, solo la formuletta finale, senza numeri. E, per il momento, non c’interessa nemmeno la strategia tecnica utilizzata per ottenere il trasferimento orbitale . Gradirei vivamente che ragionaste solo in termini di energia.

QUI trovate la soluzione del quiz

QUI trovate l’articolo che spiega il meccanismo di sopravvivenza e l’ipotesi di formazione dell’anello f di Saturno

7 commenti

  1. umberto

    bisogna trovare la differenza fra le due energie corrispondenti alle due altezze
    l'energia totale del satellite è:
    Etot=Ecinetica +Epotenziale
    ovvero:
    1) Etot= 1/2mv^2 -GMm/r
    dove r=R+h, M massa terrestre, G costante di gravitazione, m massa del satellite.
    Essendo l'orbita circolare,
    Fgravitazionale=Fcentripeta
    cioè GMm/r^2=mv^2/r, ovvero v^2=GM/r
    sostituendo nella 1) l'espressione trovata per la velocità si ottiene:
    Etot=(1/2)mMG/r-mMG/r=-(1/2)mMG/r
    il lavoro che si deve compiere sarà:
    E(2d1)-E(d1)=-(1/2)GmM((1/(R+2d1)-1/(R+d1))=(1/2)GmMd1 /(R+d1)(R+2d1)
    essendo le due altezze rispettivamente R+d1, R+2d1

  2. non dico niente, per adesso, ma...

  3. Paolo

    Caro Enzo, mi sono ripromesso di rileggere e approfondire gli argomenti trattati in questo quiz (devo ancora leggere attentamente il tuo mega articolo sulla forza centrifuga), provo comunque a tentare di risolverlo.
    A tal fine pensavo di confrontare le due Energie Totali.

    L'Energia Totale è data dalla somma di quella cinetica con quella di potenziale:
    Etot = Ec + Epot
    Ec= ½ mV²
    Epot = -GMm/r
    Etot = ½ mV² - GMm/r (dove r è la distanza dal centro di massa)

    Quindi l'Energia Totale del satellite prima del salto orbitale è pari a:
    Etot (1) = ½ mV1² - GMm/(R+ d1)

    L'energia Totale del satellite dopo il salto orbitale è pari a:
    Etot (2) = ½ mV2² - GMm/(R+ 2d1)

    Prima di trovare la differenza tra le due Energie Totali, conviene trovare le relazioni che legano le velocità.

    Il satellite è soggetto ad una forza di attrazione gravitazionale, ricavabile dalla seguente relazione:
    F = GMm/R²

    Una Forza applicata ad un corpo (che ne vince l'inerzia) è uguale a:
    F = ma (secondo principio della dinamica)

    Per cui non resta che eguagliare le due relazioni trovate per descrivere la forza che agisce sul corpo e ricavare l'accelerazione (di gravità) a cui è soggetta:
    GMm/R² = ma
    a = GM/R²

    Approssimando l'orbita del satellite ad un moto circolare, l'accelerazione centripeta (quella verso il centro della cerchio, esattamente come la forza di gravità) è data dalla relazione:
    a=V²/R

    Quindi eguagliando le due relazioni che descrivono l'accelerazione a cui è soggetto il corpo, si ricava la velocità:
    GM/R² = V²/R
    V² = GM/R
    Quindi
    V1² = GM/(R+d1)
    V2² = GM/(R+2d1)

    Sostituendo i valori trovati nelle relazioni iniziali:
    Etot (1) = ½ GMm/(R+d1) - GMm/(R+d1)
    Etot (1) = -½ GMm/(R+d1)
    Etot (2) = ½ GMm/(R+2d1) - GMm/(R+2d1)
    Etot (2) = - ½ GMm/(R+2d1)

    La differenza di energia, ossia l'energia necessaria per saltare da un orbita ad un'altra dovrebbe essere:
    ΔE= Etot (2) - Etot (1)
    ΔE= - ½ GMm/(R+2d1) - (-½ GMm/(R+d1))
    ΔE= - ½ GMm/(R+2d1) + ½ GMm/(R+d1)
    ΔE= - ½ GMm (R+d1) + ½ GMm (R+2d1)/ (R+d1) (R+2d1)
    ΔE= ½ GMm (-R -d1 + R+2d1)/ (R+d1) (R+2d1)
    ΔE= ½ GMmd1/ (R+d1) (R+2d1)

    Paolo

  4. Alvermag

    Eh già, come ha scritto Enzo qualche tempo fa .... il viriale è sempre tra i piedi ....

    Vorrei solo fare una piccola precisazione apparentemente cavillosa e pedante ma, a mio giudizio, importante. Sia Umberto che Paolo definiscono Etot (Ep+Ec) "energia totale del SATELLITE"; a me sembra che detta energia sia l'energia totale del SISTEMA (oggetto centrale+satellite).

    L'orbita circolare, per ragioni di simmetria, presenta sempre le stesse caratteristiche: la velocità periferica (nonchè quella angolare) è sempre la stessa (si, lo so, ho appena scritto una bestialità: in realtà cambia continuamente ma, per quello che qui interessa va bene così) e le energie (Ep ; Ec) pure.

    In un'orbita ellittica le cose vanno diversamente e si vede il "travaso" di energia tra il satellite ed il campo gravitazionale: l'energia cinetica persa dal satellite viene acquisita dal campo e viceversa.
    Insomma l'energia, almeno quella potenziale, è appannaggio del sistema dei due corpi: non per nulla nell'espressione compaiono entrambe le masse.

    Se Enzo vuole aggiungere qualcosa (insulti a parte) lo leggerò con estremo interesse.

  5. caro Alvy... sempre pignolo eh...?!
    Per essere esatti bisognerebbe parlare di energia orbitale. L'energia della Terra non entra in gioco, ma la sua massa serve a determinare l'energia potenziale dell'orbita. La stessa orbita impone poi una certa energia cinetica.
    La velocità angolare in un moto circolare è realmente sempre la stessa, mentre quella tangenziale è sempre la stessa solo in modulo...

    Comunque, concordi o non concordi con la soluzione data da Umberto e Paolo?

  6. Alvermag

    Si, secondo me è corretta.

    Pignolo io???? Il bue che dice cornuto all'asino ... 8-O 8-O 8-O

  7. Alvermag

    Ops, ho come l'impressione di non aver ben scelto il modo di dire ..... si, insomma, l'asino sarei io!

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