1/01/16

2. La freccia del tempo: l'entropia secondo Boltzmann

Link al capitolo 1.

Oltre alle similitudini, tra tempo e spazio vi sono anche delle profonde differenze: anzitutto mentre esistono tre dimensioni spaziali ce n’è solo una temporale; in secondo luogo mentre la linea retta rappresenta la minima distanza tra due punti nello spazio, una traiettoria rettilinea rappresenta il massimo intervallo temporale tra due eventi nello spazio-tempo; ma la più plateale differenza è che il tempo ha una direzione privilegiata, scorre inevitabilmente dal passato verso il futuro, mentre lo spazio non ce l’ha. Se galleggiassimo nel vuoto, dentro una tuta spaziale e lontano da ogni pianeta, tutte le direzioni spaziali sarebbero per noi indistinguibili, non esisterebbero ad esempio un “su” e un “giù”, “destra” o “sinistra”.

L’aspetto più misterioso del tempo quindi è che ha una direzione, la cosiddetta freccia del tempo, ed è la stessa per tutti nel nostro Universo.

Possiamo immaginare, ad esempio, di scoprire un giorno una civiltà aliena basata su una chimica diversa dalla nostra, con leggi sociali diverse dalle nostre, ma non possiamo immaginare, ad esempio, un alieno che ricorda il domani e cerca di prevedere il passato e che riesca a far emergere un cubetto di ghiaccio da un bicchiere di acqua calda.

La ragione di questo risiede nel fatto che l’Universo è pieno di processi irreversibili, ossia cose che accadono sempre nello stesso ordine:  possiamo trasformare un uovo in una frittata ma non il viceversa; il latte si mescola con il caffè; il  calore passa spontaneamente da un corpo caldo ad uno freddo, le persone nascono, invecchiano e muoiono.

Tutto questo è un mistero in quanto non lo ritroviamo nelle leggi fondamentali della fisica: quando parliamo delle teorie di Newton, Einstein, Schrodinger, o della teoria delle stringhe, esse trattano in maniera perfettamente identica passato e futuro. Se consideriamo sistemi molto semplici con poche parti mobili, il cui moto riflette le leggi fondamentali della fisica, notiamo che non esiste nessuna freccia del tempo (pensiamo ad esempio al lampadario di Galileo).

Pensiamo a un ipotetico biliardo del “fisico”, con palle (o particelle) perfettamente sferiche e senza attriti e rumori. Immaginiamo due palle che si scontrano e si allontanano, se facessimo un video e lo mostrassimo al contrario, nessuno sarebbe in grado di dire se il video stia scorrendo in avanti o indietro nel tempo, questo perché le leggi della fisica che governano lo scontro di due particelle è completamente reversibile nel tempo. Ma immaginiamo una situazione più complessa, con molte particelle, come accade a livello macroscopico, con una palla che scontra un insieme di palle ordinate insieme, che si sparpaglieranno casualmente sul biliardo. In questo caso emergerà una freccia del tempo, dal passato verso il futuro, in quanto siamo passati da una coppia di particelle ad un grande numero di particelle.

La freccia del tempo si manifesta quando passiamo da una coppia di particelle  ad un grande numero di particelle.
La freccia del tempo si manifesta quando passiamo da una coppia di particelle ad un grande numero di particelle.

La risposta a questo mistero risiede nel concetto di entropia, tutti i processi irreversibili in cui si manifesta la freccia del tempo hanno una caratteristica in comune: l’entropia cresce mentre il sistema procede dall’ordine al disordine.

E’ questo il secondo principio della termodinamica: l’entropia in un sistema isolato rimane costante o aumenta col passare del tempo.

Questo principio, secondo alcuni, è la legge fisica più attendibile, e se qualcuno vi chiedesse di scommettere quale principio attualmente accettato sarà ancora inviolato tra mille anni, vi conviene scommettere sul secondo principio della termodinamica.

La definizione moderna di entropia fu data dal fisico austriaco Ludwig Boltzmann nel 1877, ma il concetto di entropia ed il suo uso nel secondo principio della termodinamica risale al fisico tedesco Rudolf Clausius, che lo introdusse nel 1865. Il secondo principio risale invece al 1824, all’ingegnere francese Carnot, in piena rivoluzione industriale, il quale capì che il funzionamento di una macchina a vapore è un processo irreversibile.

Clausius formulò il secondo principio in questo modo: “Il calore non fluisce spontaneamente da un corpo freddo ad uno caldo” e dimostrò che questo è equivalente al dire che l’entropia, in un sistema isolato, può solo aumentare e non può mai diminuire. Consideriamo l’esempio classico di un cubetto di ghiaccio in un bicchiere di acqua calda. La temperatura misura l’energia media del moto degli atomi di una sostanza, quindi mentre le molecole dell’acqua si muovono in fretta, quelle del ghiaccio di muovono lentamente. Quando l’entropia avrà raggiunto il suo massimo valore tutti gli oggetti si troveranno alla stessa temperatura ed il sistema sarà in equilibrio.

Il secondo principio non implica che l’entropia in un sistema non possa mai diminuire: potremmo inventare una macchina che separa il latte dal caffè, ma questo ne creerebbe ancora di più da un’altra parte. In un sistema non isolato l’entropia può certamente decrescere.

Le intuizioni di Clausius e di Carnot vennero perfezionate nel corso del diciannovesimo secolo, quando i fisici si convinsero che le sostanze che troviamo nel mondo si possono interpretare come diverse combinazioni di un numero fissato di costituenti elementari detti atomi. E’ un’idea vecchia che risale a Democrito ed ai filosofi greci, ma tornò alla ribalta in quanto l'esistenza degli atomi riusciva a spiegare molte proprietà delle reazioni chimiche.

Lo scopo di Boltzmann era di trovare nella teoria atomica una base per il secondo principio della termodinamica, cercò di dedurlo da un principio semplice e fondamentale, ed arrivò a questa conclusione:

L’entropia è il numero delle disposizioni microscopiche degli atomi che appaiono indistinguibili da un punto di vista macroscopico.

La grande intuizione fu quindi quella di interpretare tutti i liquidi ed i gas come noi pensiamo alla sabbia, e cioè costituiti da parti microscopiche che mantengono la propria identità.

Egli notò che gli oggetti a bassa entropia sono più sensibili a rimescolamenti, mentre quelle ad alta entropia sono più robuste: immaginiamo una bacinella di sabbia con tutti i granelli blu da un lato e quelli rossi dall’altro. E’ chiaro che questa configurazione è molto delicata, infatti se urtiamo la bacinella o mescoliamo con un cucchiaio i due colori inizieranno a mescolarsi. Se invece partiamo con i due colori completamente miscelati abbiamo una configurazione robusta, se disturbiamo il sistema la sabbia rimarrà mescolata.

La prima importante intuizione di Boltzmann fu quella di aver compreso che in un sistema isolato l’entropia tende ad aumentare perché ci sono più modi di avere entropia alta che bassa.

Immaginiamo di avere una scatola di gas diviso in due da una parete, nella quale è praticato un foro. Le molecole si muovono e rimbalzano qua e là sui lati della scatola e sulla parete centrale, ed ogni tanto una molecola riesce a passare dall’altra parte. Immaginiamo di aver numerato le molecole da 1 a 2000, vogliamo sapere in quanti modi si possono disporre le molecole in modo che ce ne siano un certo numero da un lato ed un altro dall’altro. Per esempio c’è un solo modo di avere 2000 molecole tutte da una parte. Quanti modi ci sono di avere 1999 molecole da una parte ed 1 dall’altra? 2000 modi diversi. Se ora ci chiediamo quanti modi ci sono per avere 2 molecole a destra, troviamo 1.999.000 possibili combinazioni. La situazione che corrisponde al maggior numero di disposizioni è, come ci si può aspettare, quella in cui si ha un bilanciamento perfetto: 1000 molecole a destra e 1000 a sinistra.

Boltzmann riuscì a definire l’entropia in termini di riconfigurazioni microscopiche. Usiamo la lettera W per rappresentare il numero di modi in cui possiamo cambiare la configurazione microscopica di un sistema senza cambiarne l’aspetto macroscopico. Boltzmann trovò che l’entropia (S) è uguale a k (una costante) moltiplicata per il logaritmo di W, ossia:

S = k * log W

La lapide di Boltzmann, nel cimitero di Vienna, sulla quale è stata incisa la sua celebre formula per il calcolo dell'entropia.
La lapide di Boltzmann, nel cimitero di Vienna, sulla quale è stata incisa la sua celebre formula per il calcolo dell'entropia.

 (continua...)

 

4 commenti

  1. bravissimo SMA-Marko! Una sintesi perfetta e giustamente divulgativa. Tra Papalla, Peppe e il grande Marko... il circolo è in buone mani :-P Quasi, quasi, mi metto veramente in pensione e mi limito a fare delle domande... Anno Nuovo Vita Nuova...

    Prima, però, devo finire ciò che ho cominciato e tra poco vi sbatto lì un po' di densità critica per far piacere al redivivo Alvy e a Umberto (ma penso anche a molti altri). Oltretutto, il futuro dell'Universo si ricollega molto bene all'entropia.... :wink:

  2. Marko Carme

    "Oltretutto, il futuro dell'Universo si ricollega molto bene all'entropia...."

    E' vero Enzo, gli scenari che si prospettano non sono proprio entusiasmanti (anche se si parla di tempi molto maggiori dell'età dell'Universo) ma... lo scopriremo verso la fine del racconto :)

  3. Pietro

    Complimenti per la sintesi e la chiarezza dimostrata nell'affrontare questi argomenti.

     

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