5/08/16

Soluzione del quiz sulla somma e il prodotto */**

Un paio di lettori sono riusciti a trovare la soluzione, anche se in modo abbastanza complicato. Dato che i numeri che ammettono quanto richiesto esistono, è normale che possano trovarsi in molti modi. Io vi prospetto quella che a me sembra la soluzione più semplice e alla portata di chiunque conosca le equazioni di primo grado.

La prima domanda chiedeva espressamente: 5 numeri tali che la loro somma sia uguale al loro prodotto. Basta scrivere pari pari questa richiesta. Qualcuno potrebbe dire: “Ma ci sono 5 incognite!”. E chi l’ha detto? Basta scegliere a priori quattro numeri qualsiasi e determinare SOLO il quinto. Per maggiore semplicità e per trovare facilmente una formula ricorrente, scegliamo come numeri noti i primi interi positivi. In altre parole scriviamo:

1 + 2 + 3 + 4 + n = 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ n

Ossia:

10 + n = 24 n

Questa è una banale equazione di primo grado che si risolve determinando il numero n, l’unica incognita.

10 = 24 n – n = 23 n

n = 10/23

In poche parole i 5 numeri la cui somma risulta uguale al loro prodotto non sono altro che:

1, 2, 3, 4, 10/23.

Non ci credete? Proviamo a sommarli…

1 + 2 + 3 + 4 + 10/23 = 1 + 2 + 3 + 4 + 0.4348 = 10.4348

Proviamo a moltiplicarli…

1∙ 2∙ 3∙ 4 ∙ 10/23 = 10.4348

Come volevasi dimostrare.

Risulta ovvia anche la risposta alla seconda domanda: non esiste un numero massimo n, dato che il procedimento appena svolto potremmo applicarlo a n-1 numeri qualsiasi, lasciando indeterminato solo l’ultimo, ossia n.

In breve:

1 + 2 + 3 + 4 +…. + n-1 + n = 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ (n-1) ∙ n

Dove l’unica incognita è ancora una volta soltanto n. Risulta, quindi:

n = (1 + 2 + 3 + 4 + n-1)/(1∙ 2∙ 3∙ 4∙ (n-1) – 1)

Da cui si ha immediatamente la risposta alla terza domanda:

n = (∑n-1 k=1 k)/((n-1)! – 1)

Dove il simbolo al numeratore indica la somma di tutti i numeri interi da 1 fino a n-1, mentre al denominatore compare il simbolo di fattoriale (!), che indica il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a n-1 (maggiori informazioni QUI).

Il quiz lo trovate QUI

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