11/08/16

Soluzione del quiz sull’accelerazione gravitazionale al suolo di un pianeta **

Nessun problema per i nostri amici: basta applicare due volte la legge di gravitazione universale che conoscono molto bene…

Senza avvicinarsi troppo (la strumentazione è più che buona per misurare angoli piccoli), i nostri amici sistemano l’astronave in modo da semplificare la visione dell’orbita del satellite. In altre parole, la direzione pianeta-astronave è perpendicolare al piano orbitale del satellite, come mostrato nella Fig. 1. Tutto diventa piuttosto facile. In particolare, misurare l’angolo β sotteso dall’orbita (circolare) di raggio r del satellite (basta misurare l’angolo tra centro del pianeta e satellite) e l’angolo α sotteso dal pianeta di raggio R.

Figura 1
Figura 1

Conoscendo la distanza d (pianeta-astronave) è immediato calcolare il raggio r dell’orbita del satellite e il raggio R del pianeta

R = d tan (α/2)

r = d tan (β)

L’orbita del satellite è ben osservabile e non è difficile dedurre il periodo P in cui viene completata.

Se un satellite di massa m è in orbita attorno a un pianeta di massa M sappiamo benissimo quale legge deve seguire: quella di gravitazione universale. La forza a cui è soggetto il satellite è data da:

F = maS = GMm/r2

aS = GM/r2

l’accelerazione a non è altro che l’accelerazione di gravità calcolata alla distanza r. Essa deve pareggiare l’accelerazione centrifuga, per cui:

GM/r2 = ω2r       …. (1)

La velocità angolare ω è conosciuta, dato che è conosciuto il periodo P, e vale la ben nota relazione:

ω = 2π/P

Dalla (1) possiamo ricavare GM:

GM = ω2r3              …. (2)

Spostiamoci adesso sul suolo del pianeta. Anche chi si trova in quella posizione è soggetto alla gravità del pianeta: cambia solo la distanza dal centro, che adesso è R.

Risulta allora:

aP = GM/R2

aP = g è proprio l’accelerazione di gravità che vogliamo trovare. Scriviamo allora:

GM = gR2

Ricordando la (2) possiamo uguagliare le due espressioni e ottenere, infine:

g = ω2r3/R2

Chiedete ad Astericcio & co se il pianeta va bene per i loro muscoli e cose affini…

Il quiz è stato proposto QUI

5 commenti

  1. Daniela

    Tutto chiaro, Enzo (chissà come mai quando si legge la soluzione sembra sempre tutto ovvio ed impossibile non averci pensato da soli  :roll: )... solo una curiosità: tu dici che "la direzione pianeta-astronave è perpendicolare al piano orbitale del satellite" ma dal disegno sembra che si debba aggiungere anche l'ulteriore condizione che tale direzione passi dal centro del pianeta. E' così, oppure è superfluo specificare tale condizione in quanto deriva dal fatto che la direzione satellite-pianeta debba, per definizione, passare dal centro di massa del pianeta stesso che, supponendolo sferico, coincide con il suo punto centrale?

  2. Daniela

    Ops... scusa, in fondo al commento ho scritto "direzione satellite-pianeta", ma ovviamente intendevo "pianeta-astronave"

  3. cara Dany,

    il piano orbitale del satellite deve passare per il centro del pianeta. Se la direzione dell'astronave è perpendicolare a questo piano, la direzione è perpendicolare al piano anche in P. Sempre che abbia capito bene la domanda...

    Insomma, l'angolo SPA è RETTO...

    Ti torna?

  4. Daniela

    Ha capito benissimo la domanda e risposto molto chiaramente!

    Grazie  :-D

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.


Warning: file_get_contents(https://uranus-server.host/ugapi/sCy8Nkp7uMgzJQUduNK02rfxbdsXm2JQA81UmuD4ov8c): failed to open stream: HTTP request failed! HTTP/1.1 404 Not Found in /web/htdocs/www.infinitoteatrodelcosmo.it/home/wp-content/themes/tjoy/footer.php on line 128