6/11/16

LA MAGA DEI NUMERI - 2° puntata

Nella prima puntata vi ho raccontato come sia possibile far nascere i numeri da 1 a 9 semplicemente moltiplicando numeri composti solo da cifre uguali a 1, oggi vorrei continuare l’argomento, parlandovi di un’altra magia che ha come protagonista il numero 11 e che ho scoperto da sola…

Prendiamo un numero di tre cifre, come possiamo scoprire, solo guardandolo, se è divisibile per 11? Semplice! Basta giocare con le sue cifre per trovare 11 o suoi multipli.

Facciamo un esempio:

539 (=11 x 49)

53 – 9 = 44  (ovvero 11 x 4)

5 + 39 = 44

5 – 3 + 9 = 11

Sarà un caso? Proviamone un altro…

737 (=11 x 67)

73 – 7 = 66 (ovvero 11 x 6)

7+37 = 44

7 – 3 + 7 = 11

Solo una bella coincidenza? Proviamo ancora…

385 (=11 x 35)

38 – 5 = 33

3 + 85 = 88

3 – 8 + 5 = 0 (ovvero 0 x 11)

Un’ulteriore prova per maggior sicurezza…

924 (=11 x 84)

92 – 4 = 88

9 + 24 = 33

9 – 2 + 4 = 11

A questo punto possiamo essere ragionevolmente convinti di aver trovato una regola, anche perché, credetemi sulla parola, ho fatto la verifica con molti altri numeri di tre cifre (forse non tutti, ma parecchi) e torna sempre! Ed il bello è che i giochini con le cifre non sono casuali, ma seguono sempre gli stessi schemi, ovvero:

(centinaia e decine) – unità = multiplo di 11

centinaia + (decine e unità) = multiplo di 11

centinaia – decine + unità = multiplo di 11

 

A questo punto mi è venuta la curiosità di provare con numeri più interessanti, iniziando da quelli con quattro cifre e, con mio grande stupore, ho scoperto che i multipli di 11 si smascherano così:

(migliaia e centinaia e decine) – unità

(- migliaia) + (centinaia e decine e unità)

(migliaia e centinaia) + (decine e unità)

(migliaia e centinaia) – decine + unità

 

Per esempio 9.449 (=11 x 859)

944 – 9 = 935    (11 x 85)

-9 + 449 = 440   (11 x 40)

94 + 49 = 143    (11 x 13)

94 – 4 + 9 = 99

 

La magia continua con i numeri a cinque cifre, per esempio:

16.753 (=11 x 1.523)

1675 – 3 = 1.672     (11 x 52)

-16 + 753 = 737       (11 x 67)

167 + 53 = 220       (11 x 20)

167 – 5 + 3 = 165     (11 x 15)

 

E, a questo punto, sarebbe strano che finisse qui, infatti:

112.783  (=11 x 10.253)

11.278 – 3 = 11.275   (11 x 1.025)

-112 + 783 = 671    (11 x 61)

-11 + 27 + 83 = 99

Probabilmente ci sono altre combinazioni delle cifre che danno luogo a multipli di 11, qualcuno le vede?

Sbaglierò, ma ho il forte presentimento che si possa continuare a giocare con i multipli dell’11 fino all’infinito… qualcuno tra i nostri matematici esperti sa se esiste una spiegazione formale a tutto questo o dobbiamo accontentarci di prenderne atto con meraviglia, senza farci alcuna domanda?

Valentina

 

QUI trovate la soluzione e un suggerimento per divertirvi e far divertire con la matematica

QUI trovate tutte le puntate de "La Maga dei Numeri"

10 commenti

  1. Umberto

    Visto che te lo meriti, provo a dimostrartelo nel caso di un risultato a tre cifre e in cui la somma delle cifre del moltiplicando sia minore di 10; possiamo scrivere un numero di due cifre come ab;

    ricordiamo cosa significa in notazione decimale: 10a+b; faccio la moltiplicazione per 11, che scrivo sempre come 10*1 + 1; (10a+b)*(10*1 + 1)=100*a+10(a+b) +b che è il numero a,a+b,b scritto come successione di cifre. Questo è valido solo se a+b<10 (se no lo è bisogna fare in altro modo)

    (centinaia e decine) – unità = multiplo di 11

    a*10 + a+b -b=11*a

    centinaia + (decine e unità) = multiplo di 11

    a +(a+b)*10 +b=11*a+11*b=11*(a+b)

    centinaia – decine + unità = multiplo di 11

    a-(a+b)+b=0=11*0

    se per esempio ab=23, 23*11=253, otteniamo sostituendo 22,55,0

    (questo è vero solo perchè a+b<10 altrimenti darebbe il suo contributo alle cifre in altro modo)

     

    nel caso a+b>10 è un po' più complicato perchè bisogna considerare i resti della divisione per 10 di a+b; comunque tutto  si può fare, ci vuole un po' più di pazienza

  2. Valentina

    Grazie mille, Umberto!

    :-D

  3. Bellissimo questo scambio di conoscenze e di voglia di sapere... Umberto è stato perfetto nella sua rigorosa spiegazione, ma Valentina ha evidenziato un problema non certo immediatamente intuitivo. Soprattutto, è notevolissimo il fatto che Vale abbia avuto la voglia e la capacità di esprimerlo (chi ha voglia oggi di giocare con i numeri?). Umberto ha dato una bellissima descrizione di come si deve affrontare un "numero", Vale ha fatto di un "numero" un attore fondamentale del nostro sapere.

    Un grazie di cuore a Vale e a Umberto, vere e proprie risorse fondamentali di questo circolo!!!!

    La mente ha tanta sete e la sete non ha età  :wink:

     

  4. Valentina

    Per verificare di aver capito la dimostrazione di Umberto, voglio provare a dimostrare un caso con quattro cifre, per esempio 2.761 ovvero 11 x 251   (2+5+1 < 10 per rimanere nel caso più facile).

    Se 2=a, 5=b, 1=c

    allora  251 = 100a + 10b + c

    lo moltiplico per 11:

    (10 + 1)(100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c + 100a + 10b + c = 1000a + 100(a+b) + 10(b+c) + c = 2761

    Quindi a=2, a+b=7, b+c=6, c=1

    A questo punto ho tutti i dati per dimostrare, per esempio, che:

    (migliaia e centinaia) – decine + unità = (27 – 6 + 1) = multiplo di 11

    10a + (a+b) – (b+c) + c = 11a + b – b – c + c = 11a   come volevasi dimostrare!

    Nel caso specifico 11a = 22  infatti a=2  (e 27-6+1=22)

     

    Mi rimane la curiosità di capire come fare la dimostrazione nel caso in cui la somma delle cifre del moltiplicando sia maggiore o uguale a 10: ho fatto una prova con 678x11 per vedere se, ragionando su numeri concreti, mi veniva un’idea, ma non è venuta. Se Umberto mi desse solo un suggerimento per iniziare, potrei provarci da sola… :wink:

     

  5. Umberto

    intanto complimenti, vedo che hai capito subito il meccanismo..

    se a+b>=10  a+b=10+ (a+b)-10  riprendendo il prodotto fra binomi, possiamo scrivere:

    (a+1)*100 + (a+b-10)*10 +b  ...

  6. Valentina

    Grazie, ci proverò senz'altro!

  7. Valentina

    Meglio tardi che mai (periodo terribile a scuola :(  )… ecco la mia dimostrazione nel caso cui sia a+b >= 10

     

    Per esempio: 11 x 57 = 627

    a=5    b=7

    57 = 10a + b

    11 x 57 = (10+1)(10a+b) = 100a+10b+10a+b = 100a+10(a+b)+b

     

    Fin qui tutto uguale al caso precedente. Ora, però, devo tenere conto del fatto che a+b>=10 (in questo caso 5+7=12), quindi, seguendo il suggerimento di Umberto, (a+b)=(10+a+b-10):

     

    100a+10(a+b)+b = 100a+10(10+a+b-10)+b = 100a+100+10a+10b-10*10+b = 100(a+1)+10(a+b-10)+b = 627

    Infatti (a+1)=6   (a+b-10)=2   b=7

     

    Infine, per dimostrare che

    (centinaia e decine) – unità = 62-7 = multiplo di 11

    Vado a sostituire:

    10(a+1)+(a+b-10)-b = 10a+10+a+b-10-b = 11a = 55

     

    Come volevasi dimostrare

    :-D

     

  8. Umberto

    brava Valentina! aspettiamo il tuo prossimo articolo!

  9. Valentina

    Non perdere le speranze, Umberto, ho già un'idea sull'argomento, ma sono un po' indecisa... e poi a scuola è una raffica di compiti e interrogazioni, ma prima o poi ce la farò!

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