17/11/16

Gli elementi orbitali e i loro “compari”. 4: L’equazione del centro **

Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Proponiamo un metodo “antico”, ma sempre utile, per risolvere l’Equazione di Keplero. Lavoreremo per approssimazioni successive, cercando di arrivare al risultato finale (o almeno avvicinarlo il più possibile) attraverso un processo ripetitivo. Come al solito, vi prego di non “snobbare” questo articolo. Non fatelo per me, ma per Keplero…

Vediamo come si può venire a capo dell’equazione di Keplero. Utilizziamo allo scopo un metodo ben noto in matematica, quello delle approssimazioni successive. Si parte da un valore molto approssimato, si inserisce nell’equazione e se ne trova uno un po’ migliore; lo si inserisce di nuovo e via dicendo fino a ottenere una precisione sufficiente.

Scriviamo la nostra formula in una forma molto più utile, dove l’incognita compaia anche al secondo membro:

E = M + e sin E      …. (21)

Ragioniamoci sopra un attimo. L’eccentricità è generalmente molto piccola per i pianeti (oltre che minore di 1, ovviamente). Moltiplicando un numero (minore di 1 com’è il seno) per un numero molto piccolo (anch’esso minore di 1) si ottiene un numero decisamente più piccolo di quello originale. In poche parole, possiamo considerare come prima approssimazione che (e sen E) sia trascurabile rispetto a M. Scriviamo perciò:

E0 = M

Non ridiamo… sappiamo benissimo che i due angoli non possono essere uguali, ma il valore così trovato ci serve per migliorare la situazione. Riscriviamo, allora, la (21) inserendo E0 al posto di E, al secondo membro. Otterremo un nuovo valore approssimato di E che chiamiamo E1:

E1 = M + e sen M

Il gioco ci piace e possiamo andare avanti, scrivendo:

E2 = M + e sen E1

O, sviluppando E1:

E2 = M + e sen(M + e sen M)

Siamo di fronte a una forma:

sen (α + β)

che si risolve, ricordando le formule di addizione che avevamo descritto QUI.

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

Nel nostro caso:

E2 = M + e senM cos (e sen M) + e cos M sen (e sen M)    .... (22)

Soffermiamoci un attimo sopra questa “strana” formula, ricordando sempre che e è molto piccolo.

Ne segue che (e sen M) è molto piccolo e, quindi, il suo seno è praticamente uguale all’angolo, ossia:

sen (e sen M) = e sen M

Tuttavia, se possiamo sostituire il seno con l’angolo, il coseno tende a essere uguale a 1 (raggio del cerchio trigonometrico), come mostra la Fig. 9. Si può allora scrivere:

Figura 9
Figura 9

cos (e sen M) = 1

La relazione precedente diventa:

E2 = M + e sen M + e cos M ∙ e sen M         …. ()

Ricordando che:

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

e, quindi:

sen (2α) = 2 sen α cos α

sen α cos α = ½ sen (2α)

Nel nostro caso, abbiamo:

cos M ∙ sen M = ½ sen (2M)

Sostituendo nella (22) si ha:

E2 = M + e sen M + ½ e2 sen (2M)

Ovviamente, si può continuare nell'approssimazione inserendo il nuovo valore nella relazione (21), ma il calcolo diventerebbe ripetitivo, oltre che lungo e noioso… Possiamo, perciò, scrivere l’equazione finale che  diventa:

E = M + (e – e3/8) sen M + ½ e2 sen 2M + 3/8 e3 sen 3M + …

Con un procedimento analogo si può anche esprimere l’anomalia vera f direttamente in funzione dell’anomalia media. Se ne deriva la seguente relazione:

f = M + (2e - 1/4 e3) sen M + 5/4 e2 sen 2M + 13/12 e3 sen 3M + …

Essa viene chiamata equazione del centro.

Per molto tempo, le equazioni precedenti hanno permesso di tabulare, con una precisione del centesimo di grado, i valori di f in funzione di M, per eccentricità inferiori a 0.08.

Oggi, le approssimazioni successive si eseguono in modo rapidissimo attraverso i calcolatori elettronici, ma le equazioni di Keplero sono ancora un segno di genialità e di praticità.

E’ molto difficile trovare questa trattazione nella rete. E’ un po’ come eseguire una radice quadrata… oggi ci pensa direttamente un qualsiasi computer da bambini. La comodità innanzitutto, ma vale la pena sapere che è la mente umana che ha permesso ai calcolatori di fornire le risposte in un batter di ciglio…

Va bene, vi ho annoiato abbastanza, ma non ho ancora finito. La prossima volta determineremo la velocità di un pianeta lungo la sua orbita: un risultato di grande importanza in meccanica.

QUI trovate tutti gli articoli su “Gli elementi orbitali e i loro compari”

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