Feb 15

Soluzione al quiz del deposito di Paperon de' Paperoni

Iniziamo dal caso più facile, introdotto con l’aggiornamento del quiz in data 4-febbraio-2017, ossia il caso in cui gli interi possibili sono soltanto quelli tra 1 e 9.

Le eventuali quaterne di numeri che soddisfino  la condizione del quiz sono da ricercare tra le combinazioni di 9 numeri (da 1 a 9) presi a 4 a 4. Le combinazioni differiscono dalle disposizioni per il fatto che in esse, contrariamente alle disposizioni, non conta l’ordine. Quindi, ad esempio, la combinazione 1, 2, 3, 4 è uguale alla combinazione 4, 3, 2, 1. E, infatti, nel nostro caso, trattandosi di una somma di potenze, non conta l’ordine con cui si susseguono gli addendi (cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia). Il numero di tali combinazioni, come noto dal calcolo combinatorio, è dato da

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Le combinazioni di 9 numeri presi a 4 a 4 sono pertanto 126 e le elenchiamo di seguito:

x y z t
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
1 2 3 7
1 2 3 8
1 2 3 9
1 2 4 5
1 2 4 6
1 2 4 7
1 2 4 8
1 2 4 9
1 2 5 6
1 2 5 7
1 2 5 8
1 2 5 9
1 2 6 7
1 2 6 8
1 2 6 9
1 2 7 8
1 2 7 9
1 2 8 9
1 3 4 5
1 3 4 6
1 3 4 7
1 3 4 8
1 3 4 9
1 3 5 6
1 3 5 7
1 3 5 8
1 3 5 9
1 3 6 7
1 3 6 8
1 3 6 9
1 3 7 8
1 3 7 9
1 3 8 9
1 4 5 6
1 4 5 7
1 4 5 8
1 4 5 9
1 4 6 7
1 4 6 8
1 4 6 9
1 4 7 8
1 4 7 9
1 4 8 9
1 5 6 7
1 5 6 8
1 5 6 9
1 5 7 8
1 5 7 9
1 5 8 9
1 6 7 8
1 6 7 9
1 6 8 9
1 7 8 9
2 3 4 5
2 3 4 6
2 3 4 7
2 3 4 8
2 3 4 9
2 3 5 6
2 3 5 7
2 3 5 8
2 3 5 9
2 3 6 7
2 3 6 8
2 3 6 9
2 3 7 8
2 3 7 9
2 3 8 9
2 4 5 6
2 4 5 7
2 4 5 8
2 4 5 9
2 4 6 7
2 4 6 8
2 4 6 9
2 4 7 8
2 4 7 9
2 4 8 9
2 5 6 7
2 5 6 8
2 5 6 9
2 5 7 8
2 5 7 9
2 5 8 9
2 6 7 8
2 6 7 9
2 6 8 9
2 7 8 9
3 4 5 6
3 4 5 7
3 4 5 8
3 4 5 9
3 4 6 7
3 4 6 8
3 4 6 9
3 4 7 8
3 4 7 9
3 4 8 9
3 5 6 7
3 5 6 8
3 5 6 9
3 5 7 8
3 5 7 9
3 5 8 9
3 6 7 8
3 6 7 9
3 6 8 9
3 7 8 9
4 5 6 7
4 5 6 8
4 5 6 9
4 5 7 8
4 5 7 9
4 5 8 9
4 6 7 8
4 6 7 9
4 6 8 9
4 7 8 9
5 6 7 8
5 6 7 9
5 6 8 9
5 7 8 9
6 7 8 9

Per ciascuna di esse è agevole calcolare la quantità data dall’espressione del quiz:

27^{x}+27^{y}+27^{z}+27^{t}

e verificare se essa è il cubo di un numero intero. Se il risultato è il cubo di un numero intero, sarà possibile estrarre la radice cubica di tale numero e constatare che la parte decimale del risultato è uguale a zero.

Ebbene, con gli interi da 1 a  9, questa circostanza non si verifica mai. Possiamo cioè concludere che non esiste una quaterna di numeri interi, variabili tra 1 e 9, che soddisfi la condizione del quiz.

Naturalmente, questo non significa che, in generale, non esista alcuna quaterna di numeri interi che soddisfi la condizione del quiz. Abbiamo constatato soltanto che essa non esiste se gli interi sono quelli compresi tra 1 a 9. Ora, poiché il quiz faceva riferimento al gioco del lotto, potremmo  ampliare l’orizzonte di variabilità degli interi facendoli variare tra 1 e 90 (il massimo numero giocabile al lotto). Purtroppo, in questo caso il numero di combinazioni possibili sale a 2.555.190 ! Non solo. All’aumentare del valore numerico delle incognite x, y, z o t, la quantità data dall’espressione del quiz aumenta mostruosamente. Per esempio, se prendiamo la quaterna 15, 2, 3, 4 e applichiamo, per esempio con Excel, l’espressione  del quiz  otteniamo il numero:

2954312706550830000000

Se ora calcoliamo, sempre con Excel, la radice cubica di questo numero (elevandolo ad 1/3) otteniamo:

14348907

che è un numero intero, avendo parte decimale uguale a zero. Sembrerebbe, quindi, che la suddetta quaterna sia una soluzione del quiz. Ma se, invece, calcoliamo la radice cubica del numero ottenuto applicando la quaterna 15, 2, 3, 4  con una calcolatrice scientifica otteniamo:

14348907,000000000893438188078139

la cui parte decimale, come si vede,  non è uguale a zero. Quindi il risultato non è un cubo perfetto.

All’aumentare del valore intero delle quattro incognite x, y, z, t, quindi, diventa praticamente impossibile verificare con i calcoli che il risultato sia un cubo perfetto, perché ad un certo punto non disponiamo più della precisione di calcolo necessaria.

 

Una possibile alternativa: la soluzione computazionale.

Ispirati dalla soluzione di Marco (il lettore che ha compilato un programma in linguaggio phyton per cercare la quaterna) , siamo riusciti a fare una verifica software su tutte le quaterne (diverse) di numeri variabili da 1 a 90, come richiedeva in fin dei conti il quesito, essendo legato alle estrazioni del lotto. La verifica non ha portato a nessuna soluzione nell'intervallo sopracitato.

Dal punto di vista computazionale  e trattandosi, in fin dei conti, di un numero finito di casi, diremmo che in linea di principio  la soluzione proposta  da Marco va bene. In fin dei conti anche gli algoritmi fanno parte della matematica, basti pensare alla moltiplicazione o all'algoritmo  per la divisione o per quello di estrazione di radice quadrata.

Marco ha anche centrato qual è il problema maggiore: dire se un numero n è o non è un cubo perfetto. Bisogna cercare di avvicinarsi il più possibile al valore e poi compiere delle iterazioni elevando al cubo incrementando la candidata radice di valori unitari. I problemi per numeri maggiori di 18 (fino ad arrivare a 90) è che abbiamo a che fare con interi con centinaia di cifre; oltre a problemi di overflow aritmetici, si manifestano dopo un certo limite anche problemi di complessità di esecuzione, nel senso che all'aumentare di n ci si avvicina poco al valore della radice con le approssimazioni decimali, il "float" tipico dei sistemi numerici, costringendo ad elaborazioni di centinaia di migliaia di operazioni per verificare se un numero è un cubo o no. Due cose sono necessarie negli algoritmi: una chiaramente è la correttezza, l'altra la complessità (ovvero una stima del numero di iterazioni da eseguire in funzione delle variabili con qui si ha a che fare. Qui non c'entra che computer si usa, in ogni caso come minimo ci vorrebbero mesi. Se però si usa l'algoritmo della radice cubica (un esempio QUI), si riesce (cercando il resto zero), ad abbassare il numero di operazioni che diventano proporzionali al numero di cifre di n anzichè al valore di n vero e proprio. Comunque la correttezza dell' algoritmo è già di per se stessa la soluzione del problema; eventuali difficoltà tecniche di realizzazione prima o poi vengono superate, o da trucchi software o dalla tecnologia. In fin dei conti  anche Wagstaff  nel 1956 poté verificare, con l’ausilio del calcolatore, che il teorema di Fermat sicuramente non ammette soluzioni se n è multiplo di un numero compreso fra 2 e 125.000, nel 1992 questo limite fu elevato a 4.000.000. Quindi il passo dal 1956 al 1992 è senz'altro merito della tecnologia.

 

Ma allora, siamo destinati a restare senza una risposta che sia valida in generale ?

Vi proponiamo un ragionamento, fatto tra noi, che sembra funzionare e con il quale si giunge alla conclusione che non esiste, in generale, una quaterna x,y,z,t, di numeri interi positivi che soddisfi l’espressione del quiz. Lo presentiamo, tuttavia,  lasciando la porta aperta ad eventuali obiezioni o dimostrazioni del contrario.

 

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo che esista una quaterna x,y,z,t  e un intero c tali che

27^{x}+27^{y}+27^{z}+27^{t} = c^{3}

indicando con c un numero intero. Tale numero c , essendo intero, può essere sempre scritto come (a+b), con a e b interi. Potrebbe essere scritto anche come (a+b+c)  o come (a+b+c+d) etc, ma alla fine, trattandosi di interi, potremmo riscrivere formalmente i polinomi come binomi (a+b). Quindi la (1) diventa:

27^{x}+27^{y}+27^{z}+27^{t} = (a+b)^{3}

cioè (per le proprietà delle potenze e applicando la formula del cubo di un binomio):

27^{x}+27^{y}+27^{z}+27^{t} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

che possiamo scrivere come

(3^{3})^{x}+(3^{3})^{y}+(3^{3})^{z}+(3^{3})^{t} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

cioè

(3^{x})^{3}+3^{3y}+3^{3z}+(3^{t})^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}         (1)

Questa relazione dice che il primo membro è uguale al secondo. Poiché entrambi i membri sono composti da 4 termini, significa che devono essere uguali tra loro i termini del primo membro e i rispettivi del secondo.

Cioè:

(3^{x})^{3}=a^{3}\rightarrow a=3^{x}

3^{3y}=3a^{2}b

3^{3z}=3ab^{2}

(3^{t})^{3}=b^{3}\rightarrow b=3^{t}

Sostituendo la prima e la quarta nella seconda e terza si ottiene, per le proprietà delle potenze:

3^{3y}=3*3^{2x}*3^{t} \rightarrow 3y=1+2x+t

3^{3z}=3*3^{x}*3^{2t} \rightarrow 3z=1+x+2t

Ora trovo t da una delle due  e  sostituisco la sua espressione nell'altra, ottenendo, alla fine:

x-2y+z=-\frac{1}{3}           (2)

A questo proposito, anche se abbiniamo in modo diverso i 4 termini del primo membro con i 4 termini del secondo della relazione (1), permutando questi ultimi in tutti i 24 modi possibili, alla fine arriviamo sempre a coppie di relazioni in cui cambiano solo le incognite, e , mettendole a sistema, si giunge sempre ad un’equazione simile alla (2) . Inoltre , le relazioni ricavate uguagliando i due membri sono valide perché i termini al primo e al secondo membro di ciascuna di esse sono sempre numeri interi, come si può facilmente verificare.

Ora, la relazione (2) è vera solo se i termini x, y, e z non sono tutti e tre interi, contrariamente all’ipotesi di partenza. E’ infatti impossibile che la somma algebrica di tre numeri interi dia come risultato un numero (-1/3) che non è intero. Quindi, dobbiamo negare l’ipotesi di partenza.

Pertanto non esiste una quaterna x,y,z,t di numeri interi tali che sia soddisfatta la condizione del quiz.

 

Insomma, sembra proprio che Oreste Pautasso non sia destinato a vincere al Lotto e dovrà continuare a fare fotocopie al Circolo Archeofili di Cuneo per tirare a campare. Non te la prendere, Oreste, sarà per la prossima volta! deposito1

Umberto, Arturo Lorenzo e Maurizio

 

QUI potete trovare tutti i quiz del Club dei Maghi

3 commenti

  1. Oreste Pautasso

    Gentili Signori Maghi,

    Se posso dire la mia, credo che sia stato quel Fermat a guastare la festa. Se dovesse venire a Cuneo voglio proprio dirglielo in faccia. O basta là, per colpa sua devo dire addio alla opulenza e continuare a tirare avanti da travet scannando e fotocopiando tutto il giorno.

    Ma non poteva dire che “esiste una ed una sola soluzione”, come si legge tante volte? Bastava... magari con x,y,z,t belli grandini, da dare un risultato soddisfacente.

    Poi, con quello che mi diceva 'sti quattro numeri, ci mettevamo d'accordo per la spartizione del bottino. E invece no !

    Ma la colpa è anche di quell'altro, quel Wiles, che ha passato anni e anni per dimostrare che non c'è niente da fare. Poteva mica guardare la TV o fare l'amore con la sua signora moglie o una bella passeggiata, che in Inghilterra ci sono tanti parchi? Ma è proprio un balengo ! Se fosse stato zitto, invece di raccontarlo a tutto il mondo, magari adesso noi li avremmo trovati x,y,z,t perché, se non sai in partenza che una cosa non esiste, la cerchi fiduciosamente e, magari, la trovi.

    Va bene, adesso mi preparo la bagna cauda, così stanotte racconto a mio nonno tutta la faccenda, che forse, questa volta, i numeri me li dice direttamente lui, speriamo.

    Comunque grazie lo stesso che avete provato, anche a quel signor Marco con il serpente pitone (chissà cosa gli darà da mangiare).

    Ampollosi saluti ai Maghi e ai lettori

    Oreste Pautasso

  2. Mattia

    Buongiorno a tutti

    Ho letto la soluzione del problema, ma c'è qualcosa che non mi torna nella dimostrazione per assurdo proposta.

    In particolare nel passaggio:

    Poiché entrambi i membri sono composti da 4 termini, significa che devono essere uguali tra loro i termini del primo membro e i rispettivi del secondo.

    Perché deve valere questa affermazione?

    Grazie per la risposta

    Mattia

  3. Arturo Lorenzo

    Ciao Mattia.

    E' chiaro che una quantità (a+b+c+d) può essere tranquillamente uguale a (e+f+g+h) anche senza che ciascun termine della prima somma sia necessariamente  uguale al rispettivo termine della seconda o comunque permutando questi ultimi. Per esempio

    50+150+200+112 = 125+225+135+27

    Abbiamo infatti, facendo la somma, 512 a primo membro e 512 al secondo membro. Quindi la relazione è vera anche se, ovviamente,  ciascun termine del primo membro è diverso da tutti i termini del secondo.

    Nel testo della soluzione, in effetti, ci andrebbe meglio "possono" al posto di "devono".

    Il fatto è che la condizione del quiz, scritta come somma di potenze di 3 (27=3^3) , somiglia troppo al cubo di un binomio, per non intraprendere la strada seguita nel tentativo di dimostrazione per il caso generale. Quindi, una volta scritto c^3 come cubo del binomio (a+b)^3, viene naturale stabilire una eguaglianza tra i termini del primo membro e quelli del secondo. Tra l'altro, se è certamente vero che, per esempio, (5+3)^3 = 125+225+135+27 = 512 e che il 512 posso ottenerlo per esempio come 50+150+200+112 , ottenendo dunque una relazione vera senza stabilire eguaglianze tra i termini del primo e secondo membro,  è anche vero che risalendo a x, y, z, t dai termini 50, 150, 200, 112 secondo l'espressione del quiz , non otterrei numeri interi, come richiesto dal quiz.

    Comunque, è giusto che qualcosa non torni. Non a caso, per il tentativo di dimostrazione per il caso generale, è stata lasciata "la porta aperta a obiezioni e/o dimostrazioni del contrario:wink:

    Ben vengano, dunque, i contributi dei lettori più attenti, come te.

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