Mar 21

Soluzione al quiz "il fantasma di Galois"

Intanto grazie a tutti i partecipanti; la soluzione di Leandro grosso modo va bene; grazie anche a Oreste per aver messo in luce l'aspetto grafico del problema. La soluzione generale è comunque algebrica. Il testo completo del quiz lo trovate QUI.

galois

Ricordo  che il testo del quiz richiedeva, noti P1 e P2, di trovare S3, punto simmetrico rispetto all'asse delle x della terza intersezione P3 con la curva di equazione y^{2}=x^{3}-x.

Faccio i conti in generale, usando l'equazione y^2=x^3+ax +b; questo perchè la curva del quiz è un caso particolare di una curva detta ellittica che  è sempre riconducibile ad una espressione di tale tipo, nota anche come equazione di Weierstrass.

Osserviamo innanzitutto che se esiste P3 allora esiste anche S3; questo deriva dal fatto che se (x3,y3) è una soluzione dell' equazione y^2=x^3+ax +b allora anche (x3,-y3)  è una soluzione, essendo y_{3}^{2}=(-y_{3})^{2}

per quanto riguarda l'ellittica uso tale equazione; per la retta calcolo prima il coefficiente angolare

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} (nel testo del quiz abbiamo supposto x_{1}\neq x_{2})cIn tal modo l’equazione della retta diventa

y = m(x−x1)+y1  (retta passante per x1,y1 e coefficiente angolare noto)

galois
Per determinare le  intersezioni, quindi, bisogna fare il sistema fra retta ed ellittica; ci basta sostituire a y la sua espressione sulla retta:

(m(x-x_{1})+y_{1})^2=x^3 + ax +b

il primo membro risulta:

m^{2}(x-x_{1})^{2}+y_{1}^{2}+2m(x-x_{1})y_{1}

m^{2}(x-x_{1})^{2}+y_{1}^{2}+2m(x-x_{1})y_{1}=m^{2}(x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2}) +y_{1}^{2} +2mxx_{1}-2mx_{1}y_{1}

m^{2}(x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2}) +y_{1}^{2} +2mxx_{1}-2mx_{1}y_{1}=x^3 + ax +b

a noi interessano solo i termini in  x,x^{2}, le costanti le conglobiamo in un unica costante c:

0=x^{3}-m^{2}x^{2}+(2m^{2}x_{1}^{2}-2m^{2}y_{1}+a)x +c

e qui interviene il nostro "uovo di Colombo": conosciamo già due radici di questo polinomio di terzo grado, e sono ancora x1,x2; quindi esiste anche la terza soluzione e possiamo scomplorlo  in fattori.

Infatti abbiamo un polinomio di terzo grado; essendo x1 una radice è divisibile per (x-x1)

quindi il polinomio può essere scomposto nel prodotto di un termine di primo grado con uno di secondo grado. Ma le radici sono due e sono distinte, quindi anche quello di secondo grado è scomponibile nel prodotto di due termini di primo grado.

Se t è la terza radice:

(x-x_{1})(x-x_{2})(x-t)=(x^{2}-xx_{2}-x_{1}x+x_{1}x_{2})(x-t)

=x^{3}-x^{2}t-x^{2}x_{2}+xx_{2}t-x^{2}x_{1}+x_{1}xt-x_{1}x_{2}t

a noi interessano i termini inx^{3},x^{2} :

(x-x_{1})(x-x_{2})(x-t)=x^{3}-(x_{1}+x_{2}+t)x^{2}+...

Confrontando questa espressione con 0=x^{3}-m^{2}x^{2}+(2m^{2}x_{1}^{2}-2m^{2}y_{1}+a)x +c vediamo che il coefficiente del termine di secondo grado deve essere:

(x_{1}+x_{2}+t)=m^{2}

quindi t=m^{2}-x_{1}-x_{2}

ma t=x3, se sostituiamo nella retta y = m(x−x1)+y1. otteniamo:

x_{3}=m^{2}-x_{1}-x_{2}

y_{3}=m(x_{3}-x_{1})-y_{1}

Per trovare adesso il punto speculare S3 a P3, basta cambiare di segno y3:

y_{S3}=-m(x_{3}-x_{1})+y_{1}        Xs3 resta invece la stessa, ovvero X3

Per ottenere il risultato finale in funzione di x1, x2, y1, y2 basta sostituire a m il suo valore.

x_{3}=m^{2}-x_{1}-x_{2}=x_{3}=(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}})^{2}-x_{1}-x_{2}

y_{S3}=-m(x_{3}-x_{1})+y_{1}=-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot (x_{3}-x_{1})+y_{1}

Notiamo una cosa: il risultato finale non dipende direttamente dai coefficienti dell' equazione ossia a,b , ma solo dai due punti -soluzioni. Però questi chiaramente dipendono dall'equazione.

Il quiz è stato introdotto  per parlare di un fatto più generale, riguardante le curve ellittiche; vedremo in altri articoli che le soluzioni di un equazione ellittica formano un gruppo qualora si prenda come operazione fra le coppie (x1,y1) , (x2,y2) proprio la soluzione di qui sopra. Fino ad ora abbiamo dimostrato che è una operazione interna, e si vede subito che è commutativa (posso infatti comodamente scambiare fra di loro i due punti P1,P2 ; la retta per quei due punti sarà sempre la stessa). Ci mancherà di trovare l'elemento neutro e definire l'operazione per x1=x2, ossia nel caso che la retta sia tangente alla curva.

QUI trovate tutti i quiz del Club dei Maghi

 

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