Giu 15

Soluzione del quiz: la chiave del deposito.

Il quiz è stato ampiamente risolto come potete vedere nei commenti. Propongo qui una dimostrazione leggermente diversa, che però richiede delle conoscenze che forse tutti non hanno. Il bello di questo quiz era appunto il fatto che poteva essere risolto anche usando solo la matematica elementare. La nostra trattazione richiederà una infarinatura delle classi di resto modulo n, che sono state trattate qui.

Il quiz richiedeva di trovare due numeri compresi fra 100 e 999, quindi di tre cifre, tali che il loro quadrato finisse con le stesse tre cifre del numero di partenza. Tali numeri sono anche detti automorfi.Questa era la prima domanda. Questo fatto,  si traduce nella semplice equazione:

x^{2}\equiv x (modulo 1000). Notare che il segno è di equivalenza e non di eguaglianza. Sappiamo che i resti della divisione vanno da 1 a 999; a noi interessano quelli di tre cifre,  ovvero proprio 100<=x<=999. Il fatto che x^{2} e x diano lo stesso resto divisi per 1000, vuol dire che x^{2}-x\equiv 0 (mod 1000); infatti avendo lo stesso resto se divisi per mille, la loro differenza dà resto zero, se divisa per 1000, e quindi sono multipli di 1000.

Per chi non lo vedesse, se abbiamo due numeri a,b che danno lo stesso resto divisi per 1000, a=q1*1000+ r, b=q2*1000+r, a-b=q1*1000-q2*1000 +r-r=(q1-q2)*1000. Quindi la loro differenza è divisibile per 1000.

Raccogliamo adesso la x, ottenendo:

x\cdot (x-1)\equiv 0 (mod 100)). Che significa semplicemente che x(x-1) è multiplo di 1000. Osserviamo adesso che 1000=8* 125; x e x-1 sono primi fra loro, e se uno è pari l'altro è dispari, e tali  sono anche 8 e 125; x e x-1 non possono quindi essere multipli di  fattori misti in 2 e 5. Devono essere separatamente multipli di 8 e 125.

Avremo allora due possibilità:

  1. x multiplo di 8 e x-1 multiplo di 125
  2. x multiplo di 125 e x-1 multiplo di 8.

Consideriamo per primo il caso 1); x-1= 125k, per qualche k intero, quindi x=1+125k e questo numero deve essere divisibile per 8, essendo x multiplo d 8. Senza scomodare la complessa teoria delle equazioni alle congruenze lineari, che darebbe  tutte le soluzioni , visto che a noi interessano solo quelle a tre cifre, sostituiamo i valori di k=1,2,3,4,5,6,7  in

x=1+125k  ottenendo:                  126,251,376,501,626,751,876

L'unico numero divisibile per 8 è   376.

consideriamo adesso il caso 2) essendo x=125k e quindi x-1=125k-1, in questo  caso è x-1 che deve essere multiplo di 8,

sostituiamo i valori di k=1,2,3,4,5,6,7  in 125k-1 ottenendo  124,249,374,499,624,749,874; essendo in questo caso 624 l'unico multiplo di 8, otteniamo x-1=624, x=625.

Ma veniamo adesso alla seconda parte; abbiamo dimostrato che :

x^{2}\equiv x;

dobbiamo dimostrare che x^{n}\equiv x qualsiasi sia n.

Lo facciamo per induzione, partendo pure da n=2 (per n=1 è banale)

Attenzione adesso a non confondere il segno di uguale = con quello di equivalenza \equiv (che nel nostro caso è sempre modulo 1000) Ingrandisco un po' i caratteri

\dpi{200} x^{n}\equiv x per ipotesi induttiva

\dpi{200} x^{n+1}=x\cdot x^{n}\equiv x\cdot x= x^{2}\equiv x

nella prima eguaglianza abbiamo applicato la proprietà delle potenze, nella prima equivalenza l'ipotesi induttiva, nella seconda uguaglianza chiaramente x\cdot x=x^{2}, e nella seconda equivalenza quello che abbiamo dimostrato nel primo punto, ossia x^{2}\equiv x

Non è mia intenzione fare alcuna trattazione sui numeri automorfi; comunque in rete potete trovare qualcosa di interessante.

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