Lug 18

Soluzione al quiz "rilassante"

Prima di dare  una soluzione, due spiegazioni:

Il quiz tratta solo numeri positivi semplicemente perchè è nato così. Abbiamo visto varie volte che le estensioni dei quiz non sono mai troppo gradite da nessuno. Sincaso, si può fare un altro quiz.

Che il quiz sia stato definito rilassante, era solo collegato al fatto che poteva essere risolto semplicemente da tutti con semplici calcoli, cercando di ragionare solo  sui possibili valori da considerare. Ricordo che stiamo cercando di risolvere una equazione  le cui soluzioni devono essere interi positivi.

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}

Senza scomodare gli studi di  funzioni che ben si applicano a diverse tipologie di problemi, ma mal volentieri a questo , dove le variabili sono discrete,si tratta di risolvere una equazione in due variabili in cui le soluzioni devono essere intere positive. Chiaramente le combinazioni (x,y) sono infinite. Non possiamo provarle tutte.Bisognerà  allora trovare prima l'intervallo dei valori possibili, a cui applicare i nostri calcoli.

Due  considerazioni importanti:

data l'equazione:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}

osserviamo subito che i due addendi,essendo positivi, devono essere minori di 1/6. Quindi \frac{1}{x}<\frac{1}{6},  \frac{1}{y}<\frac{1}{6} che porta a x>6, y>6.

D'altro canto, almeno  uno dei due numeri deve essere minore o uguale di 12, altrimenti la somma dei loro reciproci sarebbe strettamente minore di 1/6 (x>12 e y>12 implica 1/x+1/y<1/12+1/12=1/6). A questo punto è  possibile determinare le soluzioni considerando solo i casi x = 7; 8; 9; 10; 11; 12 e poi invertendo il ruolo di x e y vista la simmetria.

Due semplici passaggi algebrici:

\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{x-6}{6x}

y=\frac{6x}{x-6}

e facendo i conti a mente (che non fa mai male):

x=7; \dpi{150} \Rightarrow y=42

x=8, \dpi{150} \Rightarrowy=24

x=9, \dpi{150} \Rightarrowy=18

x=10, \dpi{150} \Rightarrowy=15

x=11,\dpi{150} \Rightarrow y=66/5 NO

x=12, \dpi{150} \Rightarrowy=12

Se adesso per simmetria  scambiamo la x con la y otteniamo tutte le soluzioni:

(7; 42); (8; 24); (9; 18); (10; 15); (12; 12); (15; 10); (18; 9); (24; 8); (42; 7).

Bene, abbiamo risolto il quiz solo con un po' di buon senso e un numero limitatissimo di calcoli, e in assoluta tranquillità.

E avrebbero potuto farlo anche i nostri antenati.

Qui quiz e commenti.

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