Lug 26

Soluzione al "quiz da manicomio"

Uno strano quesito che si è poi  rilevato un complesso esercizio di analisi matematica. Di certo interessante, perchè rimembra concetti quali i limiti, i rapporti incrementali,le derivate  e un importante teorema sul valor medio di una funzione.

I nostri abili Fabrizio e Arturo hanno intuito quasi subito la soluzione ad un quiz  abbastanza difficile. Fabrizio l'ha  poi formalizzata bene  qui  Io voglio prendere un'altra via formale per la dimostrazione, tanto per cambiare.

Per essere risolto Il quiz abbisognava  di due intuizioni fondamentali. Se guardiamo la diseguaglianza:

\dpi{200} F(x_{1})-F(x_{2})\leq (x_{1}-x_{2})^{2}

che deve valere per qualsiasi valore di x1,x2 (non importa se x1 è maggiore, minore o uguale a x2) possiamo accorgerci che portando a denominatore al primo membro uno dei fattori (x1-x2) veniamo ad avere qualcosa che conosciamo, ovvero un rapporto incrementale. Si scoprirà poi che questo rapporto risulterà poi limitato sia superiormente che inferiormente. L'altra intuizione  è che se la diseguaglianza vale per la coppia (x1,x2), deve valere anche per la coppia (x2,x1), essendo \dpi{200} (x_{1}-x_{2})^{2}= (x_{2}-x_{1})^{2}

In pratica possiamo scambiare fra loro F(x1) e F(x2) e la diseguaglianza resta sempre vera.

ma vediamolo attentamente con i calcoli formali.

Quello che voglio far notare, è che l'ipotesi portano a questa deduzione:

| F(x_{1})-F(x_{2})|\leq (x_{1}-x_{2})^{2}    qualsiasi siano x1,x2. Ovvero la diseguaglianza è valida anche per il valore assoluto del primo membro.

infatti, in  F(x_{1})-F(x_{2})\leq (x_{1}-x_{2})^{2}; abbiamo due casi:

F(x_{1})-F(x_{2})\geq 0, ovvero il termine è positivo, quindi  abbiamo proprio | F(x_{1})-F(x_{2})|\leq (x_{1}-x_{2})^{2}

se invece è  F(x_{1})-F(x_{2})\leq 0, allora è F(x_{2})-F(x_{1})\geq 0 ma abbiamo sempre

F(x_{2})-F(x_{1})\leq (x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}

e quindi ancora | F(x_{2})-F(x_{1})|\leq (x_{1}-x_{2})^{2}. Per fare proprio tutti i passaggi:

| F(x_{1})-F(x_{2})|=| F(x_{2})-F(x_{1})|\leq (x_{1}-x_{2})^{2}.

Osserviamo  poi che:

(x_{1}-x_{2})^{2}=|x_{1}-x_{2}|\cdot| x_{1}-x_{2}|

| F(x_{1})-F(x_{2})|\leq |x_{1}-x_{2}|\cdot |x_{1}-x_{2}|

e, per x1<>x2:

\frac{| F(x_{1})-F(x_{2})|}{|x_{1}-x_{2}|}|\leq |x_{1}-x_{2}|   1)

Prendiamo adesso un punto qualsiasi della funzione  F, x2=x0 e consideriamo un altro punto x1=x0+h con h<>0. Valendo la 1) per ogni coppia di punti x1,x2, ed essendo h=x1-x2=h, scriviamo :

0\leq \frac{| F(x_{0})+h-F(x_{0})|}{|h|}|\leq |h|;

se facciamo tendere h a zero(ossia x1 ad x2), otteniamo:

\lim _{h\rightarrow o} \frac{| F(x_{0})+h-F(x_{0})|}{|h|}=0 essendo tale funzione di h limitata da due termini che convergono entrambi a zero (Teorema dei due carabinieri.) Chiamiamo  G_{x_{0}}(h) il rapporto incrementale in x0 il cui limite , per h tendente a zero , ci dà la derivata di F in x0.

\frac{| F(x_{0})+h-F(x_{0})|}{|h|}=| \frac{ F(x_{0})+h-F(x_{0})}{h}|=|G_{x_{0}}(h)|.  Abbiamo visto che:

\lim_{h\rightarrow 0}|G_{x_{0}}(h)|=0

quindi vale  anche:

\lim_{h\rightarrow 0}G_{x_{0}}(h)=0. Vista l'arbitrarietà di x0, questo significa che F è derivabile in qualsiasi punto con derivata zero.

Questo ci porterebbe a concludere che le funzioni F(x) sono tutte e sole le costanti. Ma è lecito? Sappiamo che  una funzione costante ha derivata nulla. Ma solo tali funzioni hanno derivata nulla? Si, ma bisogna dimostrarlo.

Quando nei teoremi del calcolo integrale si parla di primitive, ci sono dei teoremi  che ci  assicurano questorisultato, almeno in un intervallo chiuso [a,b]. Ritengo inopportuno scomodare tali teoremi, anche perchè fanno uso del teorema di Lagrange del valor medio. Quindi noi, per esercizio, dimostreremo che una funzione con derivata nulla è necessariamente una costante, usando direttamente il teorema di Lagrange .

Ricordo il teorema del valor medio, o di Lagrange : consideriamo una funzione f in un intervallo  [a,b], che sia continua, e derivabile almeno in tutti i punti interni, ossia in] a,b[.

appoggiamoci al disegno: Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto c\in ]a,b[, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di f nel punto (c,f(c)) abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti (a,f(a)) (b,f(b)).

Vogliamo dimostrare che se f'(x)=0 in tutti i punti x in ] a,b[, allora tale funzione è costante.  Dobbiamo quindi dimostrare  che f(x) = f(a) ∀ x ∈]a, b].

Per ogni x ∈]a, b] applichiamo il Teorema di Lagrange sull’intervallo [a, x]. Osserviamo che per ogni x la funzione f soddisfa le ipotesi del teorema, che quindi ci dice che esisterà un c ∈]a, x[ tale che:

f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

ma sappiamo che f'(c)=0 sempre in ] a,b[, quindi f(x)-f(a)=0, f(x)=f(a). Qesto teorema (e anche quello sulle primitive) però è limitato alla ipotesi del teorema di Lagrange. Noi abbiamo qui una funzione definita su tutto R, ossia f:R-->R. se applichiamo quanto dimostrato al nostro caso, potremmo dire che la funzione è costante qualsiasi sia l'intervallo [a,b] considerato in R. Ma qualcuno potrebbe dirmi:  la funzione non potrebbe saltare da un valore costante ad un altro, facendo un gradino? No, perchè la funzione essendo derivabile ovunque è continua su tutto R.

(Questo fatto , ovvero dell' esitenza di una funzione con derivata nulla ma non costante, lo abbiamo visto nella scala del diavolo; lì però la funzione pur essendo continua, non era derivabile in un insieme infinito di punti).

 

 

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