29/03/19

Giochiamo con i perimetri... */** (CON SOLUZIONE)

Divertiamoci un po' con della geometria semplice semplice. Due quiz relativi a un qualsiasi triangolo, che trovo molto divertenti e stimolanti... Come al solito, un pacco di “niente” a chi propone la migliore soluzione, ossia quella più rapida, con meno formule matematiche (e più ragionamento) e più elegante.

1*) In Fig. 1, prendiamo un triangolo ABC qualsiasi e poi, lato per lato, tracciamo parallelamente al lato, un segmento che stia con lui nel rapporto 1/2. In tal modo si ottiene il triangolo XYZ.  Determinare il rapporto tra il perimetro di XYZ e il perimetro di ABC.

Figura 1
Figura 1

2**) In Fig. 2, consideriamo il triangolo ABC e iscriviamo in esso un cerchio. Tracciamo una qualsiasi tangente DE al cerchio e determiniamo il perimetro del nuovo triangolo DEB così determinato in funzione dei tre lati e dell'inclinazione della tangente rispetto a una asse scelto a piacere.

trinew
Figura 2

 

Soluzioni nei commenti:

Quelle proposte da Maurizio sono non solo giuste (come quella di Arturo) ma estremamente brevi ed eleganti. Tanti complimenti e un bel regalo... virtuale!

4 commenti

  1. Arturo Lorenzo

    Rispondo solo al primo quesito

    Intanto , per evitare di usare l'equation editor , e anche er generalizzare, al posto di radice quadrata di 2 considero un parametro generico k.

    Dalla similitudine dei triangoli DBE ed ABC si ha:

    DB/AB=DE/AC

    da cui:

    DB=AB*DE/AC

    ma, essendo per ipotesi DE=AC/k  (nel nostro caso k=radice quadrata di 2), si ottiene:

    DB=AB/k

    Analogamente, considerando la similitudine dei triangoli FGA ed ABC, si ha:

    FA/AB=FG/BC

    da cui

    FA=AB*FG/BC

    Anche in questo caso, essendo per ipotesi FG=BC/k, si ottiene:

    FA=AB/k

    Quindi vediamo che DB=FA

    Ma essendo DB=AB-AD e FA=AB-FB, se ne deduce che AD=FB. Indico con a la lunghezza di questi due segmenti uguali.

    Posso ora scrivere che

    DB+a=AB

    da cui

    a=AB-DB

    cioé, per l'espressione di DB prima trovata:

    a=AB-AB/k

    cioè:

    a=AB(1-1/k)

    Ora, per costruzione, FB=YH e AD=XL, cioè YH=XL=a

    Ma allora XY, lato del triangolo interno, sarà dato da:

    XY=HL-2a

    Sostituendo le espressioni note di HL ed a si ottiene:

    XY=AB/k-2*AB(1-1/k)

    svolgendo i calcoli si ottiene:

    XY=AB*(3/k-2)

    Dividendo ora XY per AB ottengo il rapporto tra tali due lati:

    XY/AB=3/k - 2

    Nel nostro caso il risultato è 0,1213. Ora, ripetendo il ragionamento per gli altri due lati del triangolo interno, si ottiene sempre lo stesso risultato. Di conseguenza, facendo la somma dei 3 lati del triangolo interno, alla fine posso affermare che il rapporto dei perimetri è proprio 0,1213.

     

     

  2. maurizio bernardi

    Rispondo anche io alla prima domanda.

    I due triangoli ABC e xyz hanno lo stesso baricentro.  Se i lati di ABC vengono tracciati parallelamente, ridotti a 2/3, passano per il baricentro e il perimetro Pxyz vale Zero.

    Questa figura illustra come varia il perimetro al variare della proporzione tra i lati xyz e ABC:

    Scrivo la proporzione   P ABC  :(1-2/3)  =  Pxyz  ( 1/rad 2 - 2/3)    da cui ricavo Pxyz

    Pxyz = 3 ( 1/rad 2 -  2/3) = 0,1213203456

  3. Maurizio Bernardi

    Questo ?

    Traccio i raggi ( blu) in corrispondenza ai punti di tangenza triangolo cerchio

    Osservando le simmetrie dei due quadrilateri AROP e CROQ noto che:

    AP = AR e CQ=RC quindi

    AP + CQ = a e conseguentemente

    QB + PB = b+c-a

    Inoltre,  per la simmetria del quadrilatero POQB,    PB = QB = (b+c-a)/2

    Ora traccio il raggio OT in corrispondenza al punto di tangenza del cerchio con ED

    dalle simmetrie dei due quadrilateri QOTE e POTD noto che

    QE=TE PD=TD   qualsiasi sia l'angolo teta

    Pertanto BD+DP = BD+DT e BE+EQ = BE+ET

    Il perimetro cercato DE + EB +BD è quindi la somma dei segmenti PB e QB = b+c-a

    ed è indipendente dall'angolo teta.

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