9/10/19

Soluzione del quiz sul numero 495 ***

Bravi i nostri solutori, anche se il 495 e il 6174 rimangono ancora avvolti nel mistero. Certo è che ancora una volta domina il numero 9.

Esiste un giochino di prestigio che potete fare ai vostri amici e che lascerà qualcuno allibito per le vostre capacità divinatorie.

Chiedete di scegliere un numero intero qualsiasi e poi di moltiplicarlo per 9, senza ovviamente sapere il risultato. Poi chiedete di sommare le cifre fino a ottenere una sola cifra. Ovviamente il risultato sarà 9 in qualsiasi caso (ma non tutti lo immaginano). Chiedete ancora di togliere 5 da quel numero. Il risultato sarà sempre 4. A questo punto dite di associare i numeri con le lettere… A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, … Chiedete di pensare a una nazione europea che inizi con la lettera corrispondente al numero trovato (ossia 4 = D). L’unica nazione europea che comincia per D è la Danimarca. Chiedete adesso di prendere la terza lettera del nome della nazione, che è N. Dite di pensare a un colore. Il primo colore che viene in mente è il Nero. Chiedete nuovamente di prendere la terza lettera del colore, ossia R, e di pensare a un animale molto grosso che vive in Africa. Al 99.99999999% si pensa al Rinoceronte. Bene. A questo punto, con l’aria un po’ stupita, direte ad alta voce: “Ma, scusa, puoi dirmi cosa ci fa un rinoceronte nero in Danimarca?”. Normalmente si fa una gran bella figura come lettore del pensiero.

Torniamo a cose più serie, in cui il 9 è sempre protagonista…

Il primo numero sorto all’onore della cronaca è stato un numero a quattro cifre: 6174. Esso fu scoperto da un insegnante indiano, laureato e amante della matematica, Dattatreya Ramchandra Kaprekar, nel 1955. Il numero 6174 prende proprio il nome di costante di Kaprekar.

La sua caratteristica è la seguente;

Prendete qualsiasi numero di 4 cifre che non siano tutte uguali e poi costruite con le stesse cifre il numero più grande e quello più piccolo.

Fate la sottrazione e ripetete lo stesso procedimento con il nuovo numero.

Con non poco stupore vi accorgerete che dopo un piccolo numero di iterazioni (al massimo sette), arriverete sempre a 6174, il quale continuerà, andando avanti con il procedimento, a dare come risultato se stesso.

Ecco un esempio, partendo dal numero 2005:

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

Dopo sette iterazioni si ottiene proprio 6174 e non ci si schioda più da lui!

Vi sono anche casi più rapidi, come per il numero 1234; si ha, infatti:

4321 − 1234 = 3087

8730 − 0378 = 8352

8532 − 2358 = 6174

Si è subito cercato di vedere se la stessa cosa potesse capitare anche per numeri di due, tre, cinque, sei, … cifre.

Per adesso, almeno, sembra che la stessa cosa capiti solo per le tre cifre con il numero 495.

A titolo di esempio, partiamo da 123; si ha:

321 – 123 = 198

981 – 189 = 792

972 – 279 = 693

963 – 369 = 594

954 – 459 = 495

954 – 459 = 495

495 è arrivato dopo 5 iterazioni e poi non cambia più niente.

Chi la fa da padrone è il numero 9. Esso rimane sempre al centro di ogni numero dopo la sottrazione e la somma degli altri due è sempre 9.

Si può anche dimostrare che 495 è l’unico numero che può trasformarsi in se stesso dopo aver seguito le regole del procedimento.

Siano x, y e z tre numeri interi, non tutti uguali tra loro.

In particolare, z > y > x

Eseguiamo la sottrazione

zyx

xyz

ABC   (sicuramente positivo)

Essendo x < z bisogna aggiungere 10 a x e poi sottrarre z

C = 10 + x – z         … (1)

Ma y è diventato y-1, per cui dobbiamo aggiungere anche a lui un 10 e poi sottrarre y

B = y – 1 + 10 – y = 9           …. (2)

Anche z è sceso di 1 e si ha

A = z - 1 – x         …. (3)

Da cui

B = 9

A + C = 9

A e C potrebbero essere sia x che y

Consideriamo il sistema formato da (1) e (3)

C = 10 + x – z = 1 + x

A = 8 – x

C non può essere x dato che la (1) diverrebbe x = x + 1 (impossibile).

C deve quindi essere y

Otteniamo:

x = 8 – x

y = 1 + x

da cui  A = x = 4 e C = y = 5

Il numero che ripete se stesso dopo il procedimento può avere solo A = 4, B = 9, C = 5, ossia 495.

Ma, siamo sicuri che ogni numero scelto con tre interi (mai tutti uguali) arrivi dopo un certo numero di iterazioni proprio a 495?

In generale dati z > y > x

Possiamo scrivere il numero più grande come:

z(100) + y(10) + x

e quello più piccolo:

x(100) + y(10) + z

Facciamo la differenza e otteniamo:

99(z –x)

Ciò vuol dire che qualsiasi numero si trovi, esso deve essere un multiplo di 99. Vi sono solo 9 possibili numeri multipli di 99 che abbiano solo tre cifre (990 è come ripetere 099): 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891 e tutti portano solo e soltanto a 495, che, guarda caso, è proprio il valore intermedio 5(99) = 495.

Nel caso di due cifre o di 5 e più cifre non esiste un unico punto, ma si crea un ciclo periodico, con uno o più numeri ricorrenti… E’ facile provare.

Per saperne di più, consiglio di guardare QUI e QUI

Che si sia davanti a un attrattore come dice Fabrizio? Per il momento i due numeri rimangono un piccolo mistero.

1 commento

  1. Lampo

    Che spettacolo sti magheggi della matematica.

    Io ho provato anche con 5 cifre ma mi va in loop...arrivo ad un certo punto che si continuano a ripetere le stesse 3-4 serie...

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