Feb 16

Soluzione della competizione "circolare" **

Questo quiz di logica più che di matematica è stato letteralmente "sbranato" da Maurizio e nessuno (tranne Ale) ha avuto la voglia di cimentarsi. Cercheremo, la prossima volta, di mettere il bavaglio al nostro Mau... che di questi quiz, relativamente semplici, ne fa un solo boccone!

Trattiamo la soluzione in modo molto capillare  e -forse- eccessivamente particolareggiato, in modo, però, di renderlo pienamente comprensibile a tutti. Iniziamo con una delle poche certezze che abbiamo. Ogni atleta ha svolto tutte le gare e quindi la somma dei punti acquisiti dai tre concorrenti deve essere uguale al numero totale di punti elargiti.

Il numero che ne segue è 40. A questo punto, immaginiamo che ci siano state solo due gare. Vorrebbe dire che in ogni gara sono stati assegnati 20 punti in totale, ossia che x + y + z = 20. E’ possibile questa ipotesi? Sicuramente… ad esempio assegnando 10 punti al primo 6 al secondo e 4 al terzo. Ma anche in altri modi, come 8 al primo, 7 al secondo e 5 al terzo…

Attenzione, però… noi sappiamo che un atleta (Ale) ha ottenuto 22 punti e questo punteggio non torna con le precedenti ipotesi. Egli ha vinto una gara (10 o 8 punti), ma anche se ne avesse vinto due resterebbe a 20 o a 16 punti e non certo a 22.

No, no, è meglio partire con una strategia più razionale e completa. Il numero di gare deve essere tale che il punteggio di ogni gara dia alla fine come somma totale il numero 40. I punteggi sono numeri interi e quindi il numero di gare deve essere un divisore di 40. In parole povere, non ci possono essere state 7 gare dato che qualsiasi numero totale di punti assegnati per gara non potrebbe mai dare come risultato della somma totale 40. 7 non è un divisore di 40!

Cominciamo, allora, a vedere quali casi sono possibili:

40 ha come divisori 1, 2, 4. 5, 8, 10, 20, 40

Il che vorrebbe dire che se ci fosse stata una sola gara il punteggio da dividere sarebbe stato proprio 40.

Se le gare fossero 2 il punteggio per gara sarebbe stato 20. Se le gare fossero state 4, i punti assegnati per gara sarebbero stati 10, e via dicendo.

Sono tutti casi possibili? Assolutamente no, dato che noi abbiamo anche delle informazioni sui punteggi acquisiti dai tre atleti. Facciamo, perciò, un’analisi sistematica dei vari casi:

Numero di gare: 1    Punti assegnati per gara 40.

Situazione impossibile perché già sappiamo che gli eventi devo essere stati almeno 2 (giavellotto e 100 metri piani)

Numero di gare: 2     Punti assegnati per gara 20.

Impossibile perché sia Ale che Frank hanno vinto almeno una gara, mentre Artù nessuna. E’ impossibile che Frank e Artù abbiano lo stesso punteggio totale. Infatti, Ale ha vinto una sola gara e nell’altra è arrivato o secondo o terzo. Frank ha anche vinto una gara e nell’altra deve essere arrivato secondo o terzo. Ne segue che Frank può avere ottenuto un primo e un secondo o un primo e un terzo. Ma Ale avrebbe dovuto fare la stessa cosa. Avendo più punti, Ale deve avere un primo e un secondo e Frank un primo e un terzo. Restano liberi un secondo e un terzo posto per Artù, che quindi non può certo avere lo stesso punteggio di Frank che ha un primo e un terzo.

Numero di gare: 4     Punti assegnati per gara 10

Situazione possibile, da studiare più a fondo

Numero di gare: 5     Punti assegnati per gara 8

Situazione possibile, da studiare più a fondo

Numero di gare: 8    Punti assegnati per gara: 5

Impossibile, dato che sappiamo che x > y > z > 0 (con x, y e z numeri interi). Ne segue che il punteggio minimo per gara può essere solo di x = 3, y = 2, z = 1, con una somma totale MINIMA di 6.

Per la stessa ragione è impossibile che vi siano state più gare…

Rimangono, perciò, due sole possibilità: 4 o 5 gare.

Analizziamole in dettaglio:

4 gare

Punti assegnati per gara: 10

Le possibili combinazioni del punteggio per la singola gara sono:

x = 5, y = 3, z = 2

Impossibile, dato che ci sono 4 gare e pur vincendole tutte Ale potrebbe arrivare al massimo a 20 punti e non a 22.

x = 5, y = 4, z = 1

Impossibile per la stessa ragione del caso precedente

x = 6, y= 3, z = 1

Impossibile, dato che sappiamo che Frank ha vinto almeno una gara (giavellotto). Se Ale avesse vinto le altre tre andrebbe al massimo (arrivando secondo o terzo nel giavellotto) a 18 + 3 = 21 o 18 + 1 = 19. Lui invece ha 22 punti.

x = 7, y= 2. z = 1

Impossibile. Ale per fare 22 deve vincere tre gare e ottenere un terzo posto (7 x 3 = 21, 21 + 1 = 22). Frank ha ottenuto 7 punti nel giavellotto.  Per male che vada nelle altre tre gare (terzo posto) arriverebbe a 7 + 3 = 10. Non c’è possibilità per lui di ottenere 9.

Conclusione: non possono esserci state 4 gare. L’unica possibilità rimane una competizione di 5 gare.

5 gare

Punti assegnati per gara: 8

x = 4, y= 3, z= 1

Impossibile, perché anche vincendole tutte Ale arriverebbe al massimo a 20 punti.

Ultima possibilità

x = 5, y = 2, z = 1

Deve essere quella giusta, ma dobbiamo confermarla!

Ale può aver vinto 4 gare, totalizzando 20 punti. L’unica possibilità per ottenere 22 è essere arrivato secondo in una gara e questa non può che essere quella del giavellotto che è stata vinta sicuramente da Frank.

Frank totalizza 5 punti nella gara del giavellotto. Gliene mancano 4 che può ottenere solo con quattro terzi posti: 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Per cui Frank totalizza esattamente 5 + 4 = 9

Artù non ha molte scelte: deve arrivare sempre secondo (4 x 2) e una volta terzo: 8 + 1 = 9. Il terzo posto può averlo ottenuto solo nella gara del giavellotto, dove sono già stati assegnati il primo e il secondo posto.

CONCLUSIONE: In tutte le gare, tranne quella del giavellotto, Artù è arrivato secondo e quindi anche in quella dei 100 metri piani.

Ecco la classifica finale

Ale                          Frank                  Artù

Giavellotto                              2                                5                         1

Gara sconosciuta                   5                                1                         2

Gara sconosciuta                   5                                1                         2

Gara sconosciuta                   5                                1                         2

100 metri piani                      5                                1                          2

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Totale                                22                               9                          9

frank-tre-gareFacile vero?

 

P.S.: Voci di foresta dicono che una delle gare sconosciute fosse di golf. Ma è meglio non investigare troppo, dato che Frank sarebbe arrivato terzo su tre! In compenso ha vinto il giavellotto, ma con la sua abitudine di appartarsi nei luoghi più selvaggi e protetti da leggi severissime lo ha reso bravissimo nel tirare la lancia (ossia… il giavellotto) per difendersi dai predatori (guai a sparare, pena l’ergastolo!).

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