Apr 4

Appendice agli articoli sui modelli SI e SIS ***

Ogni promessa è un debito; questa appendice vuole giustificare (con il metodo rigoroso dell'analisi) le equazioni  differenziali comparse nello studio dei modelli SIS e SI. Parliamo di equazioni tipo questa:

\frac{ds}{d\tau }=(s-1)(s-\alpha )

Che è detta a variabili separabili; notiamo che la variabile s compare sia a destra che a sinistra dell'equazione, una volta con la derivata e una senza.

Noi l'abbiamo risolta in modo un  pò rocambolesco, invertendo semplicemente le frazioni:

\frac{d\tau}{ds }=\frac{1}{(s-1)(s-\alpha )}

e poi integrando ambo i membri.

Diciamo che questo metodo però non è del tutto "matematico" ma trae probabilmente le origini dal concetto Newtoniano di derivata, come rapporto fra quantità "infinitesime".

Ma vorrei in queste note, dare un significato nei  termini rigorosi dell'analisi matematica.

Definiamo Equazione differenziale a variabile separabili un’equazione del tipo:

y'(x) = g(x)f(y(x))

Procedendo poco formalmente scrivendo y'= dy/dx e "separando le variabili" si ottiene:

\frac{dy}{f(y)}=g(x)dx\Rightarrow \int \frac{dy}{f(y)}dy=\int g(x)dx

dopo di ché, calcolando le primitive si risolve il problema. Per esempio l'equazione:

y'=\frac{dy}{dx}=xy^{2} , per y\neq 0  si ottiene:

\frac{dy}{y^{2}}=xdx

e integrando:

\frac{-1}{y}=\frac{1}{2}x^{2}+C

quindi l'equazione (a parte y=0 sempre) ha tutte le soluzioni del tipo:

y(x)=\frac{-1}{c+\frac{x^{2}}{2}} con numero reale arbitrario.

Vogliamo adesso formalizzare il metodo risolutivo, con i  metodi rigorosi dell'analisi.

Riconsideriamo l'equazione:

y'(x) = g(x)f(y(x))

e supponiamo f(x)\neq 0 dove ci interessa.

Sia F una primitiva di 1/f e G una primitiva di g. Allora ogni funzione derivabile x-->y(x),  tale che :

  1. F(y(x)) = G(x) + c , c = costante

è soluzione dell'equazione differenziale y'(x) = g(x)f(y(x))

Deriviamo infatti l'eguaglianza 1., (membro a membro) ottenendo:

F'(y(x))y'(x) = G'(x) (dove a sinistra abbiamo applicato la formula della  derivazione composta);

integrando a destra e sinistra si ottiene:

\int F'(y(x))y'(x) =\int G'(x);

ma essendo F una primitiva di  1/f,

\frac{y'(x)}{f(y(x)))}=g(x)

(tornando all'esempio sopra, y'=xy^{2},  G(x) deve essere una primitiva di g(x)=x, per cui G(x)=\frac{x^{2}}{2},  F una primitiva di 1/f, ma 1/f=\frac{1}{y^{2}}, per cui F=-1/y quindi la soluzione è F(y(x)) = G(x) + c , ovvero \frac{-1}{y}=\frac{1}{2}x^{2}+C, cioè  il risultato di prima). Questo è il modo rigoroso di procedere.

Dunque, per determinare la soluzione di un’equazione differenziale "a variabili separabili", cioè con il metodo descritto dal precedente teorema, si devono calcolare due primitive e poi applicare la formula 1. Questo provoca l'inversione del quoziente, in altro modo giustificata con le "frazioni" del tipo dy/dt. Questa è la rigorosità dell'analisi matematica, che contrappone Leibniz e Newton. Si osservi che tale formula dà una famiglia di soluzioni (che dipendono dal parametro arbitrario C) in forma implicita: la funzione y(x) deve essere ancora ricavata. Vedremo come può essere talvolta calcolata imponendo la condizione iniziale y(x0) = y0. Ma vediamo di chiarire ancora con un esempio:

\left\{\begin{matrix} yy'=1\\ y(0)=-2 \end{matrix}\right.

 

\frac{1}{2}y^{2}=x+c, dalla condizione y(0)=-2, risulta c=2

per cui \frac{1}{2}y^{2}=x+2 e ricavando y:y(x)=-\sqrt{2(x+2)}

 

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