Mag 5

Quiz: Coloriamo le progressioni aritmetiche **/***

Una progressione aritmetica è una successione di numeri naturali  tale che la differenza tra due termini successivi è costante.

Per esempio 7, 10, 13, 16 è una progressione aritmetica in cui la differenza tra due termini successivi è tre.

Consideriamo i numeri da 1 a 9:

1    2    3    4    5    6    7    8     9

Supponiamo che ciascuno dei numeri da 1 a 9 venga colorato di rosso o di blu(in qualsiasi modo possibile).

E' vero o falso che vi saranno sempre tre numeri rossi o tre numeri blu in progressione aritmetica?

Dimostrare come uno meglio crede. Questo quiz  vi ricorda qualcosa?

 

7 commenti

  1. Maurizio Bernardi

    Il massimo numero di elementi di due colori diversi che si possono disporre in sequenza senza generare una progressione aritmetica di tre termini di uguale colore è 8.

    Dispongo una coppia rossa, poi una blu, ancora una rossa e infine una blu:

    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 

    A questo punto. se il 9 fosse blu, avrei una sequenza blu  7 8 9  di ragione 1.

    Se invece il nove fosse rosso, avrei una sequenza rossa 1 5 9 di ragione 4.

    Vedo una analogia con il problema della colorazione con due colori di un grafo K6.

     

     

     

  2. Maurizio Bernardi

    La disposizione dei primi 8 elementi può assumere anche altre configurazioni, come ad esempio, questa:

    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.  8. 

    Anche in questo caso, fino a 8, non ci sono progressioni monocromatiche di tre elementi.  Ma quando aggiungo il 9, se lo scrivo in rosso avrò la sequenza rossa:    1 5 9 di ragione 4.  Se invece lo scrivo in blu avro la sequenza blu 3 6 9  di ragione 3. 

    Oppure, con altra simmetria speculare, questa:

    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 

    Il 9 rosso crea 3 6 9.  ragione 3

    Il 9 blu crea 5 7 9. ragione 2.

    In ogni caso con 8 elementi il sistema di colorazione ha raggiunto una sorta di "saturazione".

    Per soddisfare compiutamente la richiesta occorre ovviamente pensare ad una generalizzazione formale.

     

     

     

     

     

     

     

  3. Umberto

    quindi tu affermi che è vero. I tuoi esempi danno un risultato concreto. Ma al solito bisogna generalizzare.

    Si, l'enunciato è proprio simile a quello dei triangoli in K6. D'altronde i problemi di Ramsey sono applicabili a qualsiasi insieme.

  4. maurizio bernardi

    Aggiungo, solo per completezza,  il ragionamento che ho seguito per arrivare alle conclusioni precedenti.

    Ho analizzato le colorazioni dei primi 8 elementi che non producano già una serie (di ragione 1 o 2 o 3)
    al fine di poter valutare facilmente le due alternative di colore per il 9° ed ultimo elemento.

    Gli 8 elementi iniziali devono essere 4 di un colore e 4 dell'altro colore, perché se fossero sbilanciati, ossia
    5 e 3 oppure 6 e 2 oppure 7 e 1,  si sarebbe già creata una serie.
    Le possibili colorazioni sui primi 4 numeri sono 16 ma 8 colorazioni sono la negazione delle altre 8.
    Quindi basta studiare solo 8 casi.
    Indico genericamente i colori con 0 e 1

    1 2 3 4

    0 0 0 0
    0 0 0 1
    0 0 1 0
    0 0 1 1
    0 1 0 0
    0 1 0 1
    0 1 1 0
    0 1 1 1

    Di queste 8 righe mantengo solo quelle che sono bilanciate, con uguale numero di 0 e di 1.

    1 2 3 4

    0 0 1 1
    0 1 0 1
    0 1 1 0

    Completo ciascuna riga, affiancando alle colorazioni  presenti (associate ai numeri da 1 a 4)  le successive 4 ( associate  numeri da 5 a 8 )  sempre  bilanciando la presenza di 1 e 0.

    1 2 3 4   5 6 7 8

    0 0 1 1   0 0 1 1      citata nel  commento  1
    0 1 0 1   1 0 1 0                         commento  2
    0 1 1 0   0 1 1 0                         commento  2

    Come già visto nei commenti, per ciascuna di esse, l'aggiunta del 9° elemento genera una serie.

     

  5. Umberto

    Ok Maurizio intanto grazie, mentre aspettiamo anche altre risposte.

  6. maurizio bernardi

    Caso proposto nel quiz:  serie di numeri da 1 a 9

    Rappresento i numeri da 1 a 9 come vertici di un ennagono, un grafo di 9 nodi.
    I colori dei collegamenti rappresentano le possibili serie aritmetiche di ragione 1, 2, 3 , 4.
    neri = ragione 1,
    rossi = ragione 2,
    verdi = ragione 3
    blu = ragione 4 (massimo)

    Divido i 9 nodi in due sottogruppi : uno di 4 nodi e l'altro di 5 nodi .
    Non è possibile collegare  5 nodi  (del sottogruppo più numeroso) con un percorso in cui non vi siano mai  due lati consecutivi dello stesso colore.
    Quindi è vero che si crea sempre una serie di tre elementi.

    Confronto con una serie di numeri più piccola  

    Considerando solo i numeri da 1 a 6: avremo il grafo a forma di esagono.
    I colori dei collegamenti seguono le stesse regole di prima:
    neri = ragione 1,
    rossi = ragione 2 (massimo)

    Questi  6 nodi vanno suddivisi in due gruppi, entrambi di 3 nodi.
    E' possibile collegare i 3 nodi di un sottogruppo con un percorso in cui non ci sono
    due lati consecutivi dello stesso colore.
    Quindi non è vero che si crea sempre una serie di tre elementi.

  7. Umberto

    si, comunque noi limitiamoci al caso del quiz; nove numeri da 1 a 9.

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