Giu 4

Soluzione al quiz "un numero molto lungo" **

Grazie a Fabrizio e Maurizio, ci siamo liberati di un problema non proprio banale, che consisteva nel trovare il numero di cifre di una potenza:

\dpi{200} 125^{100}

Fabrizio ha proprio fatto ciò che intendevo io, quando nel testo mi riferivo come suggerimento nascosto al binomio di Newton. Ritengo questa soluzione quella più precisa, che richiede meno approssimazioni e non necessita di risultati di calcoli precisi, ma si basa invece su maggiorazioni. Immaginiamoci al solito di essere in un isola deserta, e di disporre solo di carta e matita.

Tuttavia, il discorso affrontato da Maurizio sarebbe più veloce, se si conoscesse il valore di un  certo logaritmo.

La mia soluzione differisce poco da quella di Fabrizio, ma comunque mi sento in obbligo di presentarla.

125^{100}=(5^{3})^{100}=5^{300}=(\frac{10}{2})^{300}=\frac{10^{300}}{2^{300}}

2^{10}=1024

2^{300}=1024^{30}

quindi125^{100}=\frac{10^{300}}{(1000\cdot 1,024)^{30}}=\frac{10^{210}}{1,024^{30}} essendo 1000^{30}=10^{90}

Perchè abbiamo fatto tutto ciò? Perchè adesso a  numeratore abbiamo una potenza di dieci, di cui conosciamo le cifre. Cerchiamo una maggiorazione per 1.024^{30}

A questo punto, ci serve la formula di newton; 1,024^{30} si può scrivere come potenza di un binomio:

(1+x)^{30} dove x=0,024<1/40=0,025

la sviluppo di potenza sarà dato da:

1+30x+435\cdot x ^{2}+... dove  1, 30, 435.. rappresentano i coefficienti binomiali, \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.Essendo x<1/40 , si nota subito che i termini che compaiono  nelle somme  sono minori di 1. Notiamo un altra cosa; tali termini sono decrescenti. Per farlo, possiamo procedere per induzione su k, per k che va da 0 a 30. <Per k=0 è vera, essendo 30/40 minore di 1. Vogliamo adesso vedere che, passando da k a k+1, il termine generico dello sviluppo,

\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot \frac{1}{40^{k }},   decresce. Ricordando che n=30 dobbiamo dimostrare che:

\frac{30!}{(30-k)!k!}\frac{1}{40^{k}}> \frac{30!}{(30-k-1)!(k+1)!}\frac{1}{40^{k+1}}

con opportune semplificazioni , si ottiene:

\frac{1}{(30-k)}> \frac{1}{(k+1)}\cdot \frac{1}{40}

cioè

40k+40>30-k

41k>-10, che essendo k positivo, è sempre vera.

abbiamo quindi la somma di 1 + 30/40  +  28 termini minori  o uguali di \frac{435}{40^{2}}\simeq 0,27 che in ogni caso dà un numero minore di 10, quindi 1<1,024<10. Quindi \frac{10^{210}}{1,024^{30}} ha  210 cifre.

Il quiz lo trovate qui.

P.S. Avrei voluto parlare un po' del calcolo dei logaritmi. Mi riprometto di farlo, sfruttando delle tecniche con algoritmi un po' diversi da quelli classici, quelli di ultima generazione usati nei Pc e nelle moderne calcolatrici.

 

 

 

 

 

 

 

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