Giu 9

Soluzione al quiz: "Il peccato di 10° è irrazionale" **

IL quiz, che trovate qui  , richiedeva di dimostrare che il sin10° è un numero irrazionale. Come detto nell'introduzione al quiz, esso era dedicato agli amanti della trigonometria, che invece io uso solo per stretta necessità. In ogni caso, ritengo che anche chi conosca appena la materia, ricordi a memoria la formula di addizione degli archi  di seno e coseno:

\sin (\alpha +\beta )=\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\cos (\alpha +\beta )=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha sin\beta

vista la evidente simmetria.  Il sin 10° non lo conosciamo; il trucco consiste nel cercare di trovarlo tramite una equazione. Un valore noto per il seno, che tutti conosciamo,  è quello del seno di 30°, ovvero 1/2. Vogliamo adesso esprimere il seno di 30° in funzione di quello di 10°, senza nemmeno parlare di formule di duplicazione o triplicazione.

Possiamo scrivere :

sin 30°=sin(20°+10°); ma

sin 20°=sin(10°+10°) e per le formule di addizione:

sin 20°=sin 10°cos 10° + cos 10°sin 10°=2 sin 10° cos 10°

cos 20°=cos10°-sin2 10°

ma allora

sin 30°=sin(20°+10°)=sin 20° cos 10° + sin 10° cos 20°=

2 sin 10° cos 10° cos 10° +sin 10° (cos10°-sin2 10°)=

2 sin 10° cos10° + sin 10° (1-2 sin10°)=

2 sin 10° (1- sin10°)+ sin 10° (1-2 sin10°)=

3 sin 10°-4 sin3 10°

quindi

sin 30°=1/2=3 sin 10°-4 sin3 10° e, portando tutto dalla stessa parte

6 sin 10°-8 sin3 10°-1=0

poniamo adesso x=2 sin10° (chiaramente se x è irrazionale ,

anche sin 10° lo è. Otteniamo l'equazione:

x^{3}-3x+1=0  1)

(facciamo questo perchè tale sostituzione semplifica ulteriormente l'equazione, portando a 1 il coefficiente di x^{3} .

Cerchiamo adesso di dimostrare l'asserto senza parlare di "Teorema delle radici"  lasciando la  parola teorema  riservata a cose più importanti.

Supponiamo per assurdo che questa equazione abbia soluzioni razionali.  Esse saranno del tipo p/q, con p e q interi; possiamo supporre p,q primi fra loro (anche perchè, altrimenti eseguiamo le semplificazioni che servono a farli diventare tali). Sostituiamo a x il valore p/q nell'equazione 1)

(p/q)-3 (p/q)+1=0

p^{3}-3pq+q^{3}=0

q divide il secondo e terzo termine, quindi deve dividere anche il primo., essendo p^{3}=3pq-q^{3}. Ma p e q sono primi fra loro, quindi q=\pm 1.

p divide i primi due termini, quindi deve dividere anche q^{3}, essendo q^{3}=-p^{3}+3pq; ma essendo p,q primi fra loro, questo è possibile solo se p=\pm 1. Quindi le radici possibili sarebbero x=\pm 1. Ma:

1^{3}-3\cdot 1=-2\neq 0

-1^{3}-3\cdot (-1)=2\neq 0

quindi aver supposto razionali le radici, porta ad una cosa contraddittoria. Quindi le radici non possono essere razionali. Il sin10° esiste, essendo definito come un rapporto nel cerchio trigonometrico. Quindi l'equazione ha almeno una soluzione reale*, che non essendo razionale è irrazionale, però è algebrica. Dunque sin 10° è un numero irrazionale ma non trascendente.

  • Esiste una formula risolutiva per le equazioni di terzo grado tipo questa; di solito non viene fatta alle superiori  (dove ci dicevano che non esisteva) perchè implica la conoscenza dei numeri complessi e della trigonometria.  Comunque se a qualcuno interessa, me lo faccia sapere.

 

 

2 commenti

  1. Bene Umberto! Così sì che è spiegato proprio bene...

  2. Umberto

    Grazie

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.