Giu 17

Soluzione dei rettangoli in una scacchiera** (e degli altri due quiz matematici**)

La soluzione del quiz è stata trovata da molti, in modo più o meno diverso. Alcuni hanno scelto la via meno banale, altri no.

Essenzialmente vi sono due modi per risolvere la questione. Uno di carattere empirico (che avrebbe bisogno di una verifica anche se è molto intuitivo) e uno legato al calcolo combinatorio. La soluzione è ovviamente unica: 1296.

Arturo ha scomodato il teorema di Nicomaco per dimostrare che la somma dei cubi di n numeri (quante sono le caselle orizzontali o verticali dello scacchiere), la più ovvia deduzione, è uguale al quadrato della somma degli n numeri. In realtà, la formula che riassume il secondo procedimento non ha bisogno di nessun appoggio esterno. E' immediato, come mostra Arturo, dedurre che il risultato è il quadrato della somma degli n numeri.

Mostriamo meglio la strategia da utilizzare:

Prendiamo un singolo quadratino (1 x 1), esso porta 1 rettangolo

Prendiamo un quadrato 2 x 2, esso porta a 9 rettangoli

Prendiamo un quadrato 3 x 3, esso porta a  36 rettangoli

Fino a qui non è un problema contare tutti i rettangoli possibili.

Ci accorgiamo che 1 è il quadrato di 1, 9 è il quadrato di 3 (che è dato da 1 + 2), 36 è il quadrato di 6 (che è dato da 1 + 2 + 3). Il che vuol dire che il numero di rettangoli nel quadrato 4 + 4 , deve essere il quadrato di (1 + 2 + 3 + 4), ossia di 10. Ne segue che  il quadrato 8 x 8 ha un numero di rettangoli pari a (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8), che è proprio 36. Ne segue che il numero di rettangoli è 362 = 1296. E senza scomodare Nicomaco, il quale, però, con un nome così buffo meriterà senz'altro un articoletto (nel frattempo potete leggere QUESTO).

A questo punto basta ricordarsi di Gauss bambino e di come abbia fatto in fretta a calcolare la somma di n numeri (ne abbiamo parlato da pochissimo). Essa vale:

n(n+1)/2

Dato che noi dobbiamo farne il quadrato...

numero rettangoli = (9 · 8/2)2  = 362 = 1296

Un modo più rapido (e dimostrato) è invece affidarsi ai coefficienti binomiali. Essi indicano quanti sottoinsiemi  di k elementi esistono in un certo insieme di n elementi. Noi abbiamo un insieme di 9 righe e vogliamo sapere quanti sottoinsiemi esistono che abbiano due righe, non sovrapposte.

Il coefficiente binomiale vale, in generale:

(n+1)!/(k!(n-k)!)

Nel nostro caso diventa proprio

(n+1)n/2    come quella ricavata in modo empirico!

Lo stesso ragionamento può essere fatto per le colonne che porta allo stesso risultato di 36.

I rettangoli sono allora 36 · 36 = 1296

In entrambi i metodi non c'è alcun bisogno di calcolatrice (il quadrato di 36 è fattibile -per adesso almeno- ancora con una penna e un foglio di carta)

Per quanto riguarda gli altri due quiz (QUI e QUI), da eseguire senza calcolatrice, dove comparivano strane radici quadrate e cubiche, la soluzione la trovare perfetta nei commenti!

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