09/09/22

(Q) che età hanno le due amiche? /*

Categorie: Riflessioni Tags: età logica quadrati perfetti quiz Scritto da: Vincenzo Zappalà Commenti:9

Anna ha AB anni

Bruna ha CD anni

A, B, C e D sono singoli numeri interi di una sola cifra.

N.B.: AB non è il prodotto di A per B, ma un numero di due cifre, la prima delle quali è A e la seconda è B.

Il numero di 4 cifre (ABCD) è un quadrato perfetto

Tra 11 anni

Anna avrà EF anni

Bruna avrà GH anni

Il numero di 4 cifre (EFGH, che NON è il prodotto di EF per GH) è ancora un quadrato perfetto.

Che età hanno oggi Anna e Bruna?

QUI la soluzione

9 commenti

Francesco

09/09/2022 at 18:50

Mi manca un pezzetto... ma intanto:

siano x la radice quadrata di ABCD e y la radice quadrata di EFGH.

La differenza dei quadrati di y e x è 1111, cioè:

(y+x)(y-x)=1111

Ora vedo che 1111=91+93+95+97+99+101+103+105+107+109+111, somma di 11 numeri dispari.

Un quadrato differisce dal prossimo per un numero dispari, quindi segue che il quadrato di y è undici volte 'dopo' il quadrato di x, in altre parole:

y-x=11 [ECCO il pezzetto che mi manca, credo che questo lo si possa dimostrare assai meglio che così]

Mettendo insieme le due relazioni tra x ed y si ottiene x=45 e y=56, quindi attualmente Anna ha 20 anni e Bruna 25.
Vincenzo Zappalà

09/09/2022 at 19:17

Mamma mia che velocità Francesco! Non dico ancora niente sulla bontà della soluzione...
Andy

09/09/2022 at 19:23

Caro Enzo il mio ragionamento è questo:

Se ABCD è un numero intero di 4 cifre, allora deve essere

√1000 =< √ABCD =< √9999 ovvero:

32 =< √ABCD =< 99 (31 è da escludere perché 31^2 = 961 < 1000)

Tra 11 anni una ragazza avrà un’età EF = AB + 11, l’altra GH = CD + 11,

cioè EFGH = ABCD + 1111.

Dopo 11 anni si avrà che

√ABCD + 11 = √(ABCD + 1111) (1)

pongo √ABCD = x (allora x sarà un numero di 2 cifre compreso uguale tra 32 e 99)

e la (1) si potrà scrivere: x + 11 = √(x^2 + 1111)

quadrando entrambi i membri:

(x + 11)^2 = x^2 + 1111 → x^2 + 22x + 121 = x^2 + 1111

le due incognite al quadrato si annullano e raggruppando al primo membro il termine con l’incognita e al secondo i termini noti:

22x = 1111 – 121 → 22x = 990 → x = 990 / 22 = 45

ma poiché si era posto √ABCD = x → ABCD = x^2 = 45^2 = 2025

Quindi una ragazza ha 20 anni (AB = 20) l’altra 25 (CD = 25)

√2025 = 45

Tra 11 anni la prima ragazza ne avrà 20 + 11 = 31 (EF = 31) l’altra 25 + 11 = 36 (GH = 36)

√3136 = 56
Francesco

09/09/2022 at 20:44

...son proprio stupidino! È la (1) di Andy che non capisco. Per 'dimostrare' la (1) ho fatto quella stramba somma di 11 numeri dispari tra 91 e 111... Mah! Spero che qualcuno me la spieghi. O la (1) è evidente a tutti ma non a me?
Fabrizio

10/09/2022 at 10:38

Se $ABCD=m^2$ , $EFGH=n^2$ e $m^2-n^2=1111$

allora

$(m+n)(m-n)=1111=11\: 101$ (ottenuta scomponendo 1111)

quindi devono valere queste due relazioni che formano un sistema di 2 equazioni in 2 incognite

$m+n=101\: \: e\: \: m-n=11$

La soluzione di questo sistema è (fortunatamente) fatta da interi

$m=56\: \: \: n=45$

Poichè $45^2=2025$

Le età di Anna e Bruna dovrebbero essere rispettivamente di

20 e 25 anni

Per controprova sommo a ciascuna 11 ed ottengo 31 e 36 e

3136 è proprio $56^2$
Fabrizio

10/09/2022 at 10:53

Scusate, le prime due relazioni sono invertite

$ABCD=n^2\: \: e \: \: EFGH=m^2$
Francesco

10/09/2022 at 11:00

Ecco come si fa, bravo Fabrizio!

$(m+n)(m-n)=1111=11\: 101$ (ottenuta scomponendo 1111)

Sapevo che si poteva far meglio del brutto pasticcio che ho fatto io!
Andy

11/09/2022 at 18:14

Probabilmente il quiz rappresenta un caso particolare di una regola generale:

$x+(2n-1)=\sqrt{x^2 + (2n-1) \times101}$ dove $x=\sqrt{ABCD}$ , $n$ è un numero intero composto da una singola cifra e tutto il radicando equivale a $EFGH$ .

Ponendo $k=2n-1$ , k rappresenta il numero di anni affinché una coppia di età (2 cifre per coppia, AB e CD) iniziali che "affiancate" (ABCD) formano un quadrato perfetto, dopo un k numero di anni formano un'altra quadrupla (EFGH) di 2 coppie (EF e GH) affiancate.

Una tabella visualizza meglio:

con la quadrupla in rosso che indica la coppia di età affiancate e la quadrupla in verde la coppia che rappresenti un quadrato perfetto dopo k anni.

Le ultime 2 colonne confermano quanto scritto da Fabrizio, ovvero che la somma delle radici di ABCD e EFGH si ripete secondo la costante 101, mentre la differenza tra le radici è pari al numero k di anni.

Il limite di n = 9 e di conseguenza k = 17 è dovuto al fatto che se n = 10 → k = 19

si avrebbe $\sqrt{ABCD}=41$ → $ABCD=1681$ cioè la coppia di età iniziali è 16 e 81, ma aggiungendo il valore di k = 19 le età diverrebbero 35 e 100 che affiancate (35100) eccedono il limite di 4 cifre imposto dal quiz, anche se matematicamente l'equazione viene rispettata

( n = 10 → k = 19 , 19 × 101 = 1919 , x = 41 , $x^2=1681$ , $x^2 + 1919 = 3600$ , $y=\sqrt{3600}=60$

y + x = 101 , y - x = k = 19).
Vincenzo Zappalà

11/09/2022 at 18:35

Grande Andy! Nelle tue mani anche un semplice quiz riesce a dar luogo a generalizzazioni veramente interessanti.

OK, OK... bravi Fabrizio e Francesco e, ovviamente, anche Andy