Categorie: Matematica
Tags: Derivate funzioni fondamentali funzioni trigonometriche limiti notevoli
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
Le derivate delle funzioni fondamentali. 4: limiti notevoli trigonometrici **
Per completezza di trattamento, prima di lasciare le funzioni trigonometriche è interessante ricavare altri due limiti notevoli che possono sempre venire utili e che riguardano il coseno e la tangente.
lim x→0tan x/x = 1
Dimostriamolo...
lim x→0(tan x/x) = lim h→0 (sinx/cos x) · ( 1/x) = lim x→0 (sinx/x) lim x→0(1/cos x)
A questo punto basta ricordare il limite notevole
lim x→0 (sinx/x) = 1 e sostituire
lim x→0 (sinx/x) lim x→0(1/cos x) = 1 · lim x→0(1/cos x) = 1 · 1
lim x→0tan x/x = 1
Passiamo al secondo
lim x→0 (1 - cos x)/x2 = 1/2
Per dimostrarlo partiamo subito con limite notevole del seno:
lim x→0 (sinx/x)
Per le proprietà dei limiti sappiamo che il limite di una potenza è uguale alla potenza del limite, per cui possiamo scrivere:
lim x→0 (sinx/x)2 = (lim x→0 (sinx/x))2 =1
ossia:
lim x→0 (sinx/x)2 = 1 .... (1)
Lavoriamo sull'argomento del limite
(sin x/x)2 = sin2x/x2
ma è ben noto che:
sin2x + cos2x = 1
sin2x = 1 - cos2x = (1 + cos x)(1 - cos x)
per cui la (1) diventa :
lim x→0 (sinx/x)2 = lim x→0 (1 + cos x)(1 - cos x)/x2= 1
lim x→0 (1 + cos x)(1 - cos x)/x2 = lim x→0 (1 + cos x) lim x→0(1 - cos x)/x2 = 1
lim x→0 (1 + cos x) lim x→0(1 - cos x)/x2 = 2 lim x→0(1 - cos x)/x2 = 1
e, infine:
lim x→0(1 - cos x)/x2 = 1/2
Gli articoli dedicati alle derivate delle funzioni fondamentali sono disponibili QUI
e fanno parte del corso completo di matematica
4 commenti
Nell'ottava riga ti sei perso un cos per strada. lim x→0 (sinx/x) lim x→0(1/x) = 1 · lim x→0(1/cos x) = 1 · 1
E mi hai fatto tornare in mente il barone Giuseppe Tagliavini (gran brutto cognome, vero?), direttore di Chimica Analitica a Padova quando mi laureai io, nel 1972, che misurava tutto in "cos", tipo "prendiamo un cos di acido". Lo infilava nei suoi discorsi dieci volte all'ora e noi studenti stavamo lì tutti a ridere e contarli.
Ora lo ho cercato in Google, ma su di lui e il mio relatore Valerio Peruzzo non ho trovato praticamente niente.
Sic transit gloria mundi!
Anche alla fine della terz'ultima riga ti sei perso un quadrato:
lim x→0 (1 + cos x) lim x→0(1 - cos x)/x2 = 2 lim x→0(1 - cos x)/x = 1
e quindi pure nell'ultima riga in rosso.
Lo so che si tratta di tutte noiose "sviste" (fatto che si giustifica perfettamente nel tuo caso), ma sento il dovere di segnalartele perché gli imbranati come me ci perdono poi un po' di tempo per cercare di capirle e svelare l'arcano.
Ovviamente potete correggerle e cancellare questi miei commenti che però almeno dimostrano che c'è gente che segue analiticamente le tue interessantissime lezioni.
Fate vobis! [finto latino sgrammaticato, ndr]
Caro Albertone... non ho parole per ringraziarti. E pensare che mi sembrava proprio di aver controllato il tutto passo dopo passo. Ti eleggo mio assistente ufficiale alle formule!!!