14/03/23

Le derivate delle funzioni fondamentali. 5: ancora limiti notevoli e molto utili ***

Per proseguire con le nostre derivate è fondamentale introdurre un nuovo e fondamentale limite notevole. Non lo dimostreremo, dato che presuppone il limite di una successione e la faccenda sarebbe troppo complicata. Tuttavia, lo conosciamo bene ed è quello che definisce il numero di Nepero e.

Infatti, possiamo scrivere che:

limx→∞ (1 + 1/x)x  = e                      .... (1)

Consideriamo questo limite come una definizione, potendo dimostrare che è è un numero finito, anche se irrazionale.

Da questo limite se ne deducono altri tre che sono particolarmente importanti per il calcolo di altre derivate fondamentali.

 

Cominciamo con il primo, detto anche limite del logaritmo:

limx→0 ln (1 + x)/x = 1                .... (2)

Partiamo dal limite di Nepero (1) e facciamo il logaritmo di entrambi i membri

limx→∞  ln(1 + 1/x)x  = ln e  = 1

lim x→∞ ln(1 + 1/x)x  = lim x ln(1 + 1/x)  = 1

Riscriviamo questo limite cambiamo variabile, ossia ponendo

z = 1/x

ossia:

x = 1/z

Per x che tende a infinito z deve tendere a zero per cui:

limz→0 ln (1 + z)/z = 1

c.v.d.

 

Passiamo a un altro limite detto limite dell'esponenziale

limx→0 (ex - 1)/x = 1                     

La dimostrazione è rapidissima... basta riprendere la (2)

limx→0 ln (1 + x)/x = 1

e utilizzare un cambio di variabile:

x = ez - 1

La sostituzione è accettabile, dato che per z che tende a zero anche x tende a zero. Possiamo, di conseguenza, scrivere che:

limx→0 ln (1 + x)/x  = limz→0 ln(1 + ez - 1)/(ez - 1) = limz→0ln(ez)/(ez - 1) = limz→0 z/(ez - 1) 

Se il limite di un rapporto vale 1 deve valere 1 anche il limite del rapporto invertito

limz→0 (ez - 1)/z = 1

c.v.d.

 

Ed eccoci al terzo limite, chiamato anche limite della potenza con differenza:

limx→0 ((1 + x)c - 1)/x = c

Partiamo ancora dal limite notevole (2):

limx→0 ln(1 + x)/x = 1

Eseguiamo un cambio di variabile:

x = (1 + z)c - 1

Se x tende a zero tende a zero anche l'espressione di destra. Ma l'espressione di destra tende a zero quando z tende a zero. Possiamo perciò scrivere:

limx→0 ln (1 + x)/x = limz→0 ln(1 + (1 + z)c - 1)/((1 + z)c - 1) = limz→0 ln(1 + z)c/((1 + z)c -1)

Utilizziamo una proprietà dei logaritmi:

limx→0 ln (1 + x)/x = limz→0c ln(1 + z)/((1 + z)c -1)

Moltiplichiamo l'espressione all'interno del limite per z/z:

limx→0 ln (1 + x)/x = limz→0c (ln(1 + z)/((1 + z)c -1))(z/z)= limz→0c z/((1 + z)c -1) · ln(1 + z)/z

Sappiamo però che

limz→0 ln(1 + z)/z = 1

Perciò:

limx→0 ln (1 + x)/x = limz→0c z/((1 + z)c -1)

Sappiamo anche che il nostro limite è uguale a 1, perciò è uguale a 1 anche il limite dell'inverso, ossia:

limz→0c z/((1 + z)c -1) = limz→0(1 + z)c -1)/(c z) = 1

Portiamo fuori la costante 1/c:

(1/c)limz→0(1 + z)c -1)/z = 1

Infine moltiplichiamo ambo i membri dell'uguaglianza per c

lim z→0 ((1 + z)c - 1)/z = c

che è proprio il limite che volevamo dimostrare.

 

Ricapitoliamo i limiti ottenuti

limx→∞ (1 + 1/x)x  = e 

limx→0 (ex - 1)/x = 1

limx→0 ln (1 + x)/x = 1 

limx→0 ((1 + x)c - 1)/x = c

e utilizziamoli per il calcolo delle prossime derivate.

P.S.: Ho fatto parecchia fatica a scrivere tutte queste formule e vi invito a controllare bene che tutti i passaggi siano esatti. Aiutate un povero "pirata"...

5 commenti

  1. Alberto Salvagno

    Mi chiam Alby e sono il tuo correttore semiautomatico. Alla fine della prima dimostrazione hai scritto:

    x = 1/z
    Per x che tende a infinito z deve tendere a infinito per cui:
    limz→0 ln (1 + z)/z = 1

    Ovviamente invece dovevi scrivere z deve tendere a zero, come del resto si evince nel passaggio successivo.

    Evidenzio altresì l'assenza di un po' di utili parentesi quadre per cui un mona come me si perde a capire se:

    limz→0 ln (1 + z)/z = 1  deve giustamente intendersi  limz→0 [ln (1 + z)]/z = 1  anziché dell'erroneo
    limz→0 ln [(1 + z)/z] = 1

    Ci sarebbe infine da segnalare anche un banale errore del proto che usando il copia e incolla ha ripetuto nell'ultima dimostrazione un po' di   lim  con l'iniziale rossa. Ormai, caro mio, il rosso dobbiamo dimenticarcelo e abituarci al nero!

  2. Alberto Salvagno

    A proposito: BUON COMPLEANNO AD ALBERT EINSTEIN !!! che oggi compirebbe 144 anni

  3. Alberto Salvagno

    Mi è giunta voce che lim e ln sono due operatori che si possono invertire. Quando vuoi/puoi mi fai un semplice esempio adatto a un principiante come me? Anche lim e lg?

  4. grazie "Gran Correttore", speravo nella tua attenzione. Domattina eseguo...

    Riguardo a log e ln ricordiamoci che differiscono9 solo per una costante...

  5. scusa, ma non vedo i lim in rosso...

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