Fatti nostri i limiti notevoli (almeno i più importanti), li useremo per dimostrare, in modo rigoroso, le derivate di x^c, ln x ed e^x.

Cominciamo  subito con derivata di x elevato a un qualsiasi numero reale (il caso più generale possibile) diverso da zero. Scriviamo il rapporto incrementale

d(x^c)/dx = lim_h→0((x + h)^c - x^c)/h

Mettiamo in evidenza, al numeratore, x^c

d(x^c)/dx = lim_h→0x^c((x + h)^c /x^c- 1)/h = lim_h→0x^c((x + h)/x)^c- 1)/h

d(x^c)/dx = lim_h→0x^c((1 + h/x)^c- 1)/h

Poniamo , adesso:

z = h/x, ossia h = z x e notiamo che per z che tende a zero anche h tende a zero. Possiamo perciò sostituire variabile

d(x^c)/dx = lim_z→0x^c((1 + z)^c- 1)/(z x) = lim_z→0x^c-1((1 + z)^c- 1)/z = x^c-1 lim_z→0((1 + z)^c- 1)/z

Ma quello scritto in grassetto non è altro che il limite notevole della potenza con differenza che abbiamo ricavato la puntata precedente

lim_z→0((1 + z)^c- 1)/z = c

Ne segue, infine:

d(x^c)/dx = c x^c-1

Passiamo a una derivata decisamente più facile da calcolare..

d(e^x)/dx

Scriviamo il rapporto incrementale:

d(e^x)/dx = lim_h→0(e^{x + h} - e^x)/h = lim_h→0(e^x e^h - e^x)/h = e^x lim_h→0(e^h - 1)/h

Ma il limite in grassetto lo conosciamo bene in quanto è il limite notevole dell'esponenziale

lim_h→0(e^h - 1)/h = 1

E, di conseguenza:

d(e^x)/dx = e^x

Calcoliamo, infine, la derivata del logaritmo naturale:

d(ln x)/dx

Partiamo nuovamente dal rapporto incrementale:

d(ln x)/dx = lim_h→0(ln(x + h) - ln x)/h =  lim_h→0ln((x + h)/x)/h = lim_h→0ln(1 + h/x)/h

Cambiamo variabile, ponendo z = h/x, ossia h = zx. Ovviamente per h che tende a zero anche z tende a zero

d(ln x)/dx = lim_z→0ln(1 + z)/(z x) = (1/x) lim_z→0ln(1 + z)/z

Ma il limite in grassetto non è altri che il limite notevole del logaritmo

lim_x→0 ln (1 + x)/x = 1

Per cui:

d(ln x)/dx = 1/x

Direi che possono bastare...

 

Gli articoli dedicati alle derivate delle funzioni fondamentali sono disponibili QUI

e fanno parte del corso completo di matematica