Categorie: Matematica
Tags: lago percorso minimo quiz triangolo acutangolo
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
(QI) Un lago nella giungla (di Enzo e Maurizio)**
Rimaniamo in tema di barcaioli, ma spostiamoci in un grande lago immerso parzialmente nella giungla più impenetrabile, dove -si dice- vivano ancora alcuni esemplari della mitica e terribile bisciabova.
Fatto sta che nel lato a sinistra del lago vi è il solo punto servito da una strada che attraversa la giungla. Alla fine della strada, in riva al lago, vi è il solito barcaiolo che ha un compito importantissimo, ossia quello di recuperare con il solo mezzo utilizzabile (la barca) la merce che viene lasciata nelle altre due sponde. Il tutto deve essere fatto nel minor tempo possibile. Il barcaiolo, in base alla sua posizione P deve indicare perfettamente i punti di raccolta merce A e B in modo da minimizzare il percorso finale.
Il tutto è riassunto nella figura che segue...
Ricapitoliamo le condizioni di partenza:
(1) il lago ha la forma di un triangolo acutangolo qualsiasi.
(2) Il barcaiolo parte da P e deve attraccare in A e B, scelti da lui, per poi tornare al punto di partenza.
(3) Il percorso PABP deve essere quello minimo.
(4) i punti P, A e B non possono essere nei vertici del triangolo.
(5) La strategia operativa deve valere per qualsiasi punto P di un lato del lago.
(6) Il barcaiolo è munito di carta topografica per comunicare i punti esatti dello scarico merce (A e B), ma ha, ovviamente, una minima conoscenza della matematica...
Si chiede di definire il percorso minimo per qualsiasi P e per qualsiasi lago triangolare acutangolo. Potete usare il metodo che preferite, sapendo che ve ne è almeno uno alla portata di un semplice barcaiolo, non molto istruito in matematica...
QUI la soluzione
8 commenti
Di seguito la mia risposta in bianco:
In modo assolutamente istintivo e occhiometrico, se fossi il barcaiolo avvicinerei A e B il più possibile al vertice del triangolo opposto a P.
Ma se fosse così semplice, il quiz probabilmente avrebbe un solo asterisco...
No, ho detto una sciocchezza: se il lato di P fosse molto corto e gli altri due molto lunghi, è chiaro che la mia soluzione farebbe percorrere al barcaiolo troppa strada. Che vada applicato il saggio principio “in medio stat virtus”?
Altra sciocchezza… stavo pensando ai due casi limite (lato con P molto corto oppure molto lungo), non tenendo conto che il triangolo deve avere tutti angoli acuti. Come non detto! Continuo a pensarci.
Egregio dottor Zappalà,
avevo letto qui un interessante articolo sui fotoni e lo spaziotempo. Devo confessare che non riesco più a trovarlo, ma quel che lessi mi colpì profondamente, e, sovente, sono tornato a riflettere su questo argomento. Vorrei condividere con lei, e chi ci legge, una mia intuizione, che sicuramente sarà già stata pensata e riflettuta, ma mi piacerebbe sentire il suo parere.
Nell'articolo lei invitava a pensare al fotone come un osservatore, per lui saremmo noi a muoverci alla velocità della luce, per così dire, impossibilitati a fermarci in un punto, che poi è esattamente ciò che accade al fotone nello spazio.
Non così per il tempo. Il fotone è 'fermo' nel tempo. Più o meno, come noi lo siamo nello spazio. Per un principio di complementarietà, che tanti doni ha dato alla fisica moderna, vorrei analizzare, molto brevemente, senza matematica, e per quanto mi è possibile, le conseguenze di tale assunto.
Come noto questa idea ci viene meglio a rappresentarla per un buco nero. Sull'orizzonte degli eventi, un oggetto che riuscisse ad raggiungere la velocità della luce, potrebbe fermarsi sull'orizzonte e veder scorrere un tempo infinito. Qui ho già la prima domanda: Quindi il fotone, dal SUO punto di vista, non dovrebbe mai cadere, e allora, come vede, lui, quella regione di spazio tempo che noi chiamiamo buco nero, e al suo interno ha non una, ma più (probabilmente) singolarità? Se per lui lo spazio è infinitamente contratto in un punto, allora è chiaro che c'è qualcosa di strano anche per come lui 'vedrebbe' il buco nero. Penso sarebbe molto utile esplorare il punto di vista di un 'oggetto' che va alla velocità della luce.
Ma, anche senza finire sul buco nero, le cose si fanno molto strane. Noi sappiamo che lo spaziotempo è un'entità unica, tuttavia spazio e tempo sembrano piuttosto distinti, alla nostra percezione. Tutta la materia, qualunque essa sia (anche la materia singolare? Lascio aperta la domanda), non può mai rimanere ferma nel tempo. Non è che non possa tornare indietro (nel passato), ma non può proprio rimanere ferma. Perché se per tornare indietro dovrebbe andare più veloce della luce, e non si può fare, per stare ferma (nel tempo), dovrebbe andare alla velocità della luce, e non si può fare nemmeno questo. Quindi è condannata a procedere, avanti nel tempo alla.. velocità della luce! O perlomeno quasi, nessun oggetto è veramente immobile (qui si apre un mondo su come e cosa considerare in movimento rispetto a che), tuttavia, nella stragrande maggioranza dei casi, le velocità non raggiungono valori relativistici, e quasi tutto il moto è occupato dal tempo. Come noto, tuttavia, più ci si avvicina alla velocità luce, più il tempo si contrae, quindi quella velocità è, per qualche motivo, un valore fondamentale della realtà.
Ora, se ci muoviamo alla velocità della luce nel tempo (nel senso che gli eventi 'entrano', o siamo noi che entriamo, nel nostro cono di luce futuro alla velocità della luce), è certo vero che possiamo rimanere fermi nello spazio. Esattamente come un fotone rimane fermo nel tempo. Mi corregga se sbaglio.
Noi possiamo 'vedere' lo spazio in tutte le direzioni, ma, attenti bene, NON possiamo vedere il tempo nelle (due) direzioni. E' impossibile. Certo, possiamo ricordare il passato, ma questo è BEN diverso che vederlo esteso. In effetti, siccome percepiamo istante per istante, noi, oggetti di materia 'vediamo' solo il singolo istante di tempo che è 'contratto' in un singolo punto (tempo di Plank? o altro?) e li vediamo in sequenza, alla... velocità della luce.
Un fotone, se fosse un osservatore, se ciò che abbiamo detto è ragionevole, e complementare, sarebbe 'bloccato' in un istante di spazio, ma potrebbe vedere il tempo in tutte le direzione 'ESTESO' all'infinito.
Certo, qui entra in gioco un fattore che ho ignorato, e cioè che le distanze, di tempo, e suppongo anche di spazio, non arrivano all'osservatore istantaneamente. Ciò che vediamo ad un metro di distanza, non è esattamente come lo vediamo quando il nostro cervello interpreta il segnale ricevuto. Ne sarà sempre una approssimazione. Tuttavia, per ora, voglio ignorare questa difficoltà che complicherebbe tutto.
Oltre all'utilizzo fatto con questo sistema dualistico, di trovare con un sistema, i valori altrimenti incalcolabili di un altro, es. scontat a la corrispondenza anti-de Sitter/teoria di campo conforme, ma anche immaginare cosa accade ad un oggetto in caduta in un buco nero, dall'esterno la luce di un oggetto che non finisce mai di superare l'orizzonte virerà sempre più sul rosso, ma per l'oggetto, all'interno, la luce e molte altre cose in un sottile foglio di energia infinita, gli cadrà addosso con frequenza spostata verso il blu.
Tempo fa vidi un video di Random Physics, incentrato su questo argomento, che mi lasciò profondamente insoddisfatto. Scartando a priori il fatto che un fotone fosse un 'osservatore' (grazie...), in venti minuti di video non fece altro che ripetere la solita pappardella che però non ci svela nulla di più di quanto sappiamo. Invece, a mio parere, bisogna osare ed esplorare strade nuove, se si vuole arrivare a nuovi orizzonti (spero non degli eventi e ancor meno di Cauchy).
Caro Gabriele,
troppe cose sono esposte nel tuo lungo commento e -devo ammettere- non molto sono riuscito a comprendere esattamente. Tra le tante, tieni presente che il tempo non passa per chi si avvicina al buco nero solo per un osservatore lontano, mentre tutto è normale per chi viaggia. Così come chi viaggia vedrà tutto spostarsi nel blu, perché il tempo di chi sta lontano scorre velocemente. Ma, scusa, è impossibile rispondere in breve a un commento così lungo e articolato... Se cerchi bene nell'archivio, vedrai he ho scritto molto a riguardo
Grazie per la risposta innanzitutto e buona Pasqua.
Sicuramente cercherò ulteriori articoli sugli argomenti su esposti.
Se mi consente faccio un'ulteriore osservazione cercando di sintetizzare il lungo post sopra, supponendo un osservatore si collochi sull'orlo dell'orizzonte degli eventi alla velocità della luce, il suo tempo scorrerebbe normalmente, tuttavia l'intero universo sperimenterebbe l'infinito. Sia la regione interna al buco nero, che quella all'estero.
L'unica cosa che può farlo è un fotone, quindi non deve 'raggiungere' quella velocità, ce l'ha già, allo stesso modo in cui noi viaggiamo nel tempo, lui viaggia nello spazio senza possibilità di fermarsi.
Ecco l'analogia che ho cercato di esporre per cui il fotone, la cui quantità di moto è interamente nello spazio (mentre la nostra è interamente nel tempo), 'vede' per così dire, lo spazio istante per istante, o frammento per frammento, non riesco a farmi capire bene forse su questo punto, come noi vediamo il tempo istante per istante. E' come se noi, di materia, vivessimo il tempo come un singolo punto (o fettina), mentre lo spazio è dilatato; mentre, per i fotone, è il contrario, il punto è lo spazio (tutto, anche fosse infinito), mentre è il tempo ad essere dilatato, e, se il fotone potesse 'vederlo', forse potrebbe vedere passato e futuro come noi vediamo lo spazio a destra e sinistra, in alto e in basso, ecc.
Se i tre punti fossero raggi luminosi essi dovrebbero percorrere il percorso minimo rimbalzando a specchio sui lati del trangolo - laghetto. Le riflessioni avvengono sempre con angoli uguali rispetto alla normale del lato relativo. Le normali dei tre lati sono le tre altezze del triangolo.
Caro Gabriele,
ti consiglio di leggere gli articoli dedicati ai buchi neri descritti a vari livelli...
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/buchi-neri/