Introduciamo la serie di Fourier

Ricordiamo che la serie di Fourier si può applicare solo a funzioni periodiche. Per quelle non periodiche bisogna sfruttare la trasformata di Fourier.

La funzione la indichiamo con f(t)

Essendo P il suo periodo vuole anche dire che:

f(t) = f(t + P)

Abbiamo visto che noi abbiamo a nostra disposizione infinite funzioni che hanno come periodo un sottomultiplo di P. Esse sono:

cos(m(2π/P)t) e sin(m(2π/P)t)

dove m può variare da uno a infinito.

L’idea fondamentale è allora la seguente:

E’ possibile ottenere una sovrapposizione di queste funzioni tale che approssimi sempre meglio la funzione periodica f(t) ? In altre parole, è possibile scrivere la funzione f(t) come una serie di funzioni che abbiano periodi uguali a sottomultipli di P ? Se è possibile lo si deve proprio alla SERIE DI FOURIER.

Ovviamente, ogni singola funzione darà un certo contributo all’ampiezza finale della serie. Ne deriva la seguente espressione:

f(t) = a₀ + ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)       .... (14)

Il problema è quello di trovare il valore di questi infiniti coefficienti, segnati in rosso. Proprio per questo scopo abbiamo lavorato a lungo sulle proprietà di ortogonalità di seno e coseno, che ci torneranno utilissime.

Determinazione dei coefficienti

Iniziamo con la prima costante (a₀)

In realtà essa poteva essere inglobata nelle sommatorie, facendole partire da m = 0.. Tuttavia, cosa sarebbe successo? Per m = 0 avremmo avuto che il coseno sarebbe valso uno e quindi il primo termine della sommatoria sarebbe valso proprio a₀. Mentre b₀ sarebbe stato moltiplicato per il seno di zero che vale 0 e quindi questo termine sarebbe sparito. Tanto vale, quindi, mettere a₀ fuori dalla sommatoria e ricordare che esso non è altri che il primo termine relativo a m = 0.

Vedremo che, oltretutto, a₀ ha un significato speciale che viene messo in evidenza molto meglio se rimane isolato. Esso è infatti la media della funzione f(t)

Parliamone subito…

Se escludessimo a₀ ci troveremmo di fronte a due sommatorie che avrebbero sempre una media nulla su tutto il loro periodo. In poche parole, tanto sale sopra lo zero il coseno e tanto scende sotto lo zero nel periodo 2π. E così fa pure il seno. Ma anche le funzioni che hanno come periodo un sottomultiplo di 2π presentano lo stesso comportamento. Ne segue che se la funzione f(t) non avesse media nulla le due sommatorie non potrebbero sicuramente descriverla.

La stessa conclusione si può ottenere in modo più rigoroso. Riprendiamo la nostra serie (14) e integriamo entrambi i membri tra –P/2 e P/2. Ricordiamo che l’integrale rappresenta un’area, per cui per avere media nulla devo integrare tra –P/2 e 0 e tra 0 e P/2 e trovare che i due integrali sono uguali e contrari in segno. Inoltre, teniamo presente che l’integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali.

∫_-P/2 ^P/2 f(t) dt = a₀ ∫_-P/2 ^P/2 dt + ∑₁^∞ a_m ∫_-P/2 ^P/2 cos(m(2π/P)t)dt + ∑₁^∞ b_m ∫ _-P/2 ^P/2  sin (m(2π/P)t)dt

Per quanto detto prima tutti gli integrali che compaiono nelle due sommatorie sono a media nulla, per cui vanno tutti a zero. Rimane soltanto:

∫_-P/2^P/2 f(t) dt = a₀ ∫ _-P/2^P/2 dt

∫_-P/2^P/2 f(t) dt = a₀ [t]_-P/2^P/2 = a₀ (P/2 –(-P/2)) = a₀ P

a₀ = (1/P) ∫_-P/2^P/2 f(t) dt

che è proprio il valor medio della funzione f(t)

Passiamo ora al calcolo di a_m.

Riprendiamo la serie di Fourier

f(t) = a₀ + ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)

prima di integrare, però, moltiplichiamo entrambi i membri per cos(n(2π/P)t), dove n è un numero intero che va da 1 a infinito.

f(t) cos(n(2π/P)t) = a₀ cos(n(2π/P)t) + cos(n(2π/P)t) ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + cos(n(2π/P)t) ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)

Possiamo portare il cos(n(2π/P)t) all’interno della sommatoria e ottenere infinite relazioni del tipo:

f(t) cos(n(2π/P)t) = a₀ (cos(n(2π/P)t)+ ∑₁^∞ a_m cos(n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) + ∑₁^∞ b_m cos(n(2π/P)t ) sin(m(2π/P)t)

Adesso possiamo integrare entrambi i membri

∫_-P/2^P/2 f(t) cos(n(2π/P)t) dt = a₀ ∫_-P/2^P/2 cos(n(2π/P)t)dt + ∑₁^∞ a_m ∫_-P/2^P/2 cos n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) dt + ∑₁^∞ b_m ∫_-P/2^P/2 cos(n(2π/P)t) sin (m(2π/P)t) dt

Cominciamo dalla fine e consideriamo l’espressione

∑₁^∞ b_m ∫_-P/2^P/2 cos(n(2π/P)t) sin (m(2π/P)t) dt

Contemporaneamente riportiamo anche la terza proprietà di ortogonalità

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) cos (n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          SEMPRE

Ne consegue che tutti i termini della sommatoria vanno a ZERO

Prendiamo adesso l’espressione:

∑₁^∞ a_m ∫_-P/2^P/2 cos (n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) dt

E confrontiamola con la prima proprietà di ortogonalità

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = 2π P/2π  = P          (m = n = 0)

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = π P/2π    = P/2       (m = n ≠ 0)

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π    = 0          (m≠ n)

Cosa possiamo concludere?

Innanzitutto che m = n = 0 non può verificarsi dato che la sommatoria parte da m = 1 e, poi che per valori diversi di m e n l’integrale è uguale a zero.

La sommatoria, perciò si riduce al solo termine in cui m = n e l’integrale vale P/2

Ossia diventa soltanto:

a_nP/2

Questo vale per tutti i termini a_n in quanto vi sarà sempre un solo termine non nullo per qualsiasi valore di n.

Consideriamo il termine

a₀ ∫_-P/2^P/2 cos(n(2π/P)t)dt

Beh… abbiamo già visto che l’integrale del coseno tra –P/2 e P/2 deve essere zero (e questo vale anche per i sottomultipli di P) e quindi il termine sparisce. Provate a  mettere P = 2π e il tutto si riduce all’integrale del coseno di t tra – π e π, che vale ovviamente zero.

Cosa ci è rimasto dell’espressione di partenza? Ben poco. Proviamo a riscriverla tenendo conto degli ultimi calcoli:

∫_-P/2^P/2 f(t) cos(n(2π/P)t) dt = a_n P/2

a_n = (2/P)∫_-P/2^P/2 f(t) cos(n(2π/P)t) dt

possiamo scrivere tranquillamente l’indice m, dato che n va da 1 a infinito come m

a_m = (2/P)∫_-P/2^P/2 f(t) cos(m(2π/P)t) dt

Questa relazione ci permette di calcolare tutti i coefficienti a_m.

Forza e coraggio, perché non è ancora finita … dobbiamo trovare i coefficienti b_m!

Riprendiamo l’ormai famosa serie di Fourier e vediamo cosa poterci ancora fare sopra …

f(t) = a₀ + ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)

Moltiplichiamo ambo i membri per

sin(n(2π/P)t)

f(t) sin(n(2π/P)t) = a₀ sin(n(2π/P)t) + sin(n(2π/P)t) ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + sin(n(2π/P)t) ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)

f(t) sin(n(2π/P)t) = a₀ sin(n(2π/P)t) +  ∑₁^∞ a_m sin(n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) +  ∑₁^∞ sin(n(2π/P)t) b_m sin (m(2π/P)t)

e integriamo ...

∫_-P/2^P/2 f(t) sin (n(2π/P)t) dt = a₀ ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t)dt + ∑₁^∞ a_m ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) dt + ∑₁^∞ b_m ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t) sin (m(2π/P)t) dt

Ormai dovremmo aver capito l’antifona

Consideriamo il termine che contiene seno e coseno

∑₁^∞ a_m ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t) cos(m(2π/P)t) dt

Non c’è nemmeno bisogno di fare confronti, ormai sappiamo bene che  la terza proprietà di ortogonalità ci dice che tutta questa sommatoria deve essere uguale a ZERO.

Consideriamo, invece, la parte più interessante:

∑₁^∞ b_m ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t) sin (m(2π/P)t) dt

Siamo di fronte a un integrale in cui vi è il prodotto di due seni. Nessun problema e andiamo a recuperare la seconda proprietà di ortogonalità:

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          (m = n = 0)

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = π P/2π   = P/2       (m = n ≠ 0)

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          (m ≠ n)

Il primo caso non può mai verificarsi (m e n sono diversi da zero). Nel terzo caso l’integrale va a zero. Rimane solo il caso in cui m = n, in cui l’integrale vale P/2.

Ancora una volta il termine

a₀ ∫_-P/2^P/2 sin(n(2π/P)t)dt

si annulla dato che l’integrale del seno deve essere zero sia per P che per i suoi sottomultipli. Resta soltanto:

∫_-P/2^P/2 f(t) sin(n(2π/P)t) dt = b_n P/2

b_n = 2/P ∫_-P/2^P/2 f(t) sin(n(2π/P)t) dt

o, in modo equivalente:

b_m = 2/P ∫_-P/2^P/2 f(t) sin(m(2π/P)t) dt

e così si sono ottenuti i valori di tutti gli infiniti valori di b_n

Facciamo un breve riassunto delle ultime operazioni.

Abbiamo una funzione f(t) periodica, di periodo P. Essa può essere espressa attraverso una serie di termini che presentano solo i seni e i coseni. Per la precisione:

f(t) = a₀ + ∑₁^∞ a_m cos(m(2π/P)t) + ∑₁^∞ b_m sin (m(2π/P)t)

dove i coefficienti valgono:

a₀ = (1/P) ∫_-P/2^P/2 f(t) dt

a_n = (2/P)∫_-P/2^P/2 f(t) cos(n(2π/P)t) dt

b_m = 2/P ∫_-P/2^P/2 f(t) sin(m(2π/P)t) dt

 

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