(Q) Più siamo e meglio stiamo (con soluzione di Andy)**
Abbiamo organizzato un incontro a casa mia. Ad una certa ora siamo n persone la cui età media è m. In quel momento arriva Carla e l'età media sale di 4. Dopo altri 10 minuti arriva anche la sorella gemella di Carla e l'età media sale di 3.
Si chiede:
Quante persone erano presenti prima dell'arrivo di Carla?
SOLUZIONE
Riporto pari pari il commento di Andy che risponde esattamente al quiz proposto. Ormai i quiz sono diventati un problema tra me lui e viceversa...
Inizialmente ci sono n persone di età A1, A2, A3, …., An.
La somma delle loro età è: A1 + A2 + A3 + ….+ An, per cui l’età media sarà:
m = (A1 + A2 + A3 + ….An) / n , quindi m×n = A1 + A2 + A3 + ….+ An
All’ingresso della prima gemella, della quale non si conosce l’età ma che si può genericamente indicare con E, il numero dei presenti diventerà n + 1, la somma originaria delle età aumenta di E, mentre l’età media aumenta di 4 anni; in formula:
(n + 1) = ( m×n + E) / (m + 4) (1)
All'ingresso della seconda gemella (quindi con la stessa età E), i presenti + la prima gemella aumentano di una ulteriore unità, la somma delle età precedenti aumenta di un altro E, e la precedente età media aumenta di altri 3 anni, per cui rispetto alla formula precedente:
(n + 1 + 1) = ( m×n + E + E) / (m + 4 + 3) ovvero
(n + 2) = ( m×n + 2E) / (m + 7) (2)
Sviluppando la (1):
(n + 1)(m + 4) = m×n + E → m×n + 4n + m + 4 = m×n + E → 4n + m + 4 = E (3)
sviluppando la (2):
(n + 2)(m + 7) = m×n + 2E → m×n + 7n + 2m + 14 = m×n + 2E → 7n + 2m + 14 = 2E (4)
Noto che nella (4) le incognite m ed E sono il doppio rispetto alle stesse della (3);
allora moltiplico la (3) per 2 e successivamente sottraggo la (4), eliminando 2 incognite in un colpo solo:
8n + 2m + 8 = 2E –
7n + 2m + 14 = 2E
-----------------------
n + 0 – 6 = 0
ovvero n = 6.
3 commenti
Questo il mio ragionamento "bianchettato"...
Inizialmente ci sono n persone di età A1, A2, A3, …., An.
La somma delle loro età è: A1 + A2 + A3 + ….+ An, per cui l’età media sarà:
m = (A1 + A2 + A3 + ….An) / n , quindi m×n = A1 + A2 + A3 + ….+ An
All’ingresso della prima gemella, della quale non si conosce l’età ma che si può genericamente indicare con E, il numero dei presenti diventerà n + 1, la somma originaria delle età aumenta di E, mentre l’età media aumenta di 4 anni; in formula:
(n + 1) = ( m×n + E) / (m + 4) (1)
All'ingresso della seconda gemella (quindi con la stessa età E), i presenti + la prima gemella aumentano di una ulteriore unità, la somma delle età precedenti aumenta di un altro E, e la precedente età media aumenta di altri 3 anni, per cui rispetto alla formula precedente:
(n + 1 + 1) = ( m×n + E + E) / (m + 4 + 3) ovvero
(n + 2) = ( m×n + 2E) / (m + 7) (2)
Sviluppando la (1):
(n + 1)(m + 4) = m×n + E → m×n + 4n + m + 4 = m×n + E → 4n + m + 4 = E (3)
sviluppando la (2):
(n + 2)(m + 7) = m×n + 2E → m×n + 7n + 2m + 14 = m×n + 2E → 7n + 2m + 14 = 2E (4)
Noto che nella (4) le incognite m ed E sono il doppio rispetto alle stesse della (3);
allora moltiplico la (3) per 2 e successivamente sottraggo la (4), eliminando 2 incognite in un colpo solo:
8n + 2m + 8 = 2E –
7n + 2m + 14 = 2E
-----------------------
n + 0 – 6 = 0
ovvero n = 6.
io speravo davvero in un incontro a casa tua :-)
Caro Alberto,
mi piacerebbe tanto, ma non siamo più in grado di organizzare incontri del genere... Come ho già detto, ci vorrebbe qualcuno che si offrisse di farlo..