Il problema è stato risolto da Andy, Arturo e Leandro, anche se quest'ultimo si è "ostinato" a sbagliare il segno sotto la radice, facendo un po' di confusione. Tuttavia, ha trovato il modo giusto per trattare s come un'unica grandezza senza dividerla nelle sue due parti.

Il problema era scritto in modo da far pensare che la  s variasse al variare di P. Ciò non è vero e, qualsiasi sia P, il valore di s rimane lo stesso, per un dato triangolo.

Proprio la dimostrazione di questa costanza ci offre il modo per risolvere facilmente l'esercizio. Infatti, la somma s risulta essere un distanza oltremodo utile, ossia  l'altezza BK tracciata dal vertice B al lato opposto del triangolo isoscele.

Dimostriamo perciò questa proprietà dei triangoli isosceli e poi risolveremo velocemente il problema. Utilizziamo la Fig. 1

Sono presentati due casi, uno con il triangolo acutangolo e uno con il triangolo ottusangolo, ma la dimostrazione vale per entrambi.

Prolunghiamo il segmento MP, mentre da B  gli tracciamo la perpendicolare BR. I triangoli MAP e PNB sono simili (due angoli uguali) L'angolo RPB è uguale a MPA (opposti al vertice). Ne segue che il triangolo PNB è congruente al triangolo PBR (due angoli e un lato uguali). PNB è un angolo retto per costruzione, per cui il quadrilatero MKBR ha quattro angoli retti, ossia è un rettangolo. I lati opposti sono uguali, per cui:

KB = MR

Ma PN = PR

ossia

KB = MP + PR = s

Ne segue che la somma s non è altri che l'altezza del triangolo isoscele tracciata dal vertice B

Dal triangolo AKB abbiamo che:

AK = √(AB² - AK²) = √(1 - s²)

I triangoli AKB e ABH sono simili (due angoli uguali), per cui possiamo scrivere:

HB/AB =  KB/AK = s/√(1 - s²)

L'area del triangolo AHB è la metà dell'area del rettangolo di lati AB e BK

A_AHB = 1/2 s/√(1 - s²)

L'area del triangolo isoscele di partenza è la metà di questa, per cui:

A_ABC = 1/4 s/√(1 - s²)