Sul pianeta Papalla, la Pasqua si festeggia con un gioco molto divertente e un po' spericolato. I papallicoli devono descrivere un uovo "dinamico", ossia la traiettoria che devono seguire  ha una forma che ricorda molto quella di un uovo. Nessun pericolo, comunque:  i papallicoli possono tranquillamente rimbalzare al suolo senza subire danni,  la gravità è del tutto simile a quella della Terra, non esiste atmosfera e, infine, essi sanno costruire superfici perfettamente lisce.

Un papallicolo di massa m è posto nel punto più basso di una struttura circolare  che si interrompe ad un’altezza pari a 4/3 del suo raggio. Che velocità bisogna impartire al papallicolo affinché, scivolando lungo la parte interna della struttura circolare, riesca a tornare al punto di partenza lungo la stessa struttura?

L'uovo che devono percorrere è raffigurato nella figura che segue.

 

SOLUZIONE

Tralasciamo, per il momento, il moto del papallicolo da O al punto finale del tratto circolare P. Esso arriva in P con una certa velocità v₁, legata ovviamente alla velocità v_o che gli è stata impartita in O.

In poche parole, giunto in P il papallicolo viene lanciato nello spazio con una certa velocità, tangente al cerchio, che forma un angolo θ con la direzione orizzontale. L'angolo θ è lo stesso che individua la posizione di P rispetto al centro cerchio. Solitamente, l'altezza di P rispetto ad O vale 3/4 del raggio del cerchio.

Siamo di fronte a un classico moto parabolico, che dovremmo conoscere molto bene. Un moto, però, che ha dei vincoli ben precisi: deve far tornare il papallicolo sulla direzione orizzontale esattamente nel punto Q, in modo da continuare a scivolare fino a O.

Iniziamo col calcolare la distanza PQ = s_x, ossia il tragitto orizzontale che deve essere compiuto dal papallicolo. Poniamo l'origine delle coordinate x e y nel punto P con il verso positivo illustrato nella Fig. 1.

Conoscendo il raggio r del cerchio, è immediato scrivere:

PQ = s_x = 4√(r² - r²/9) = 4r√2/3            .... (1)

Il papallicolo viene proiettato fino a una certa altezza h (ne parleremo dopo), ma. giunto in Q, deve tornare ad avere la stessa ordinata, ossia s_y = 0.

Possiamo calcolare il valore del seno e del coseno dell'angolo θ che ci serviranno per separare le coordinate della velocità v₁.

s_x/2 = 2r√2/3 = r sin θ

sin θ = 2√2/3                    .... (2)

r/3 =  r cos θ

cos θ = 1/3                          .... (3)

Fatti questi semplici calcoli matematici, possiamo occuparci dl moto parabolico del papallicolo. La sua velocità v₁ in P può essere scomposta nelle due componenti v_1x e v_1y, che possono essere scritte come:

v_1x = v₁ cos θ

v_1y = v₁ sin θ

sul papallicolo agisce inoltre l'accelerazione di gravità diretta verso il basso, ossia:

a_y = - g

Lungo l'asse delle x il moto è rettilineo uniforme, lungo l'asse delle y il moto è uniformemente accelerato. Conosciamo bene le formule che descrivono questo tipo di moti, ed esse ci dicono, avendo posto l'origine del moto in P, che, nel primo caso:

s_x = v_x t

e, nel secondo caso

s_y = v_y t + 1/2at²

Cominciamo a scrivere la seconda che ci fornisce il tempo di volo. Infatti, dato che s_y = 0, abbiamo:

0 = v₁ t sin θ - 1/2 g t²

t = 0 è opzione da scartare e, quindi:

t = 2 v₁ sin θ/g                            .... (4)

Conoscendo sin θ dalla (2), possiamo scrivere:

t = 4 v₁ √2/(3g)                .... (5)

La prima ci dice, invece, che:

s_x = v₁ t cos θ

sostituendo t, abbiamo:

s_x = v₁ cos θ (4 v₁ √2/(3g))

Ma conosciamo cos θ dalla (3) e, sostituendo, otteniamo:

s_x = (v₁ 1/3) (4 v₁ √2/3g)

Conosciamo sx dalla (1) , per cui:

4r√2/3 = (v₁ 1/3) (4 v₁ √2/3g)

semplificando:

r = v₁²/3g

v₁² = 3gr                  .... (6)

Abbiamo determinato la velocità necessaria per compiere il balzo nel vuoto e ricadere in Q e, di conseguenza, in O.

In realtà, però, il problema ci chiede la velocità v₀ che bisogna impartire al papallicolo che, non sarà, ovviamente, uguale  a v₁. A questo punto basta ricordarsi la conservazione dell'energia. Quando il papallicolo è in P e viene lanciato, la sua energia potenziale può essere posta uguale a zero, mentre la sua energia cinetica vale 1/2 m v₀². In poche parole, la sua energia totale è:

E₀ = 1/2 mv_o² + 0 = 1/2 mv_o²

Quando il papallicolo giunge in P, ha sicuramente perso parte dell'energia cinetica (la sua velocità v₁ è sicuramente minore di v_o), ma ha guadagnato dell'energia potenziale che, come sappiamo, è data da mgh, dove h, nel nostro caso, vale 4r/3. Come detto, l'energia si deve conservare, per cui:

E₀ =E_P

1/2 m v_o² = 1/2 mv₁² + m g 4r/3

Conosciamo v1²  dalla (6) e, quindi:

1/2 m v_o² = 3 m gr/2  + 4 mgr/3

3/6 v₀² = 9 /6 gr + 8/6 gr

v₀² = (17gr/6)(6/3)

v₀² = 17 gr/3

v₀ = √(17 gr/3) 

Senza bisogno di ricavarla nuovamente, possiamo ricordare la formula che ci regala l'altezza massima raggiunta dal papallicolo durante il suo volo:

y_max = v₁² sin² θ/(2g) = 3gr · 8/(18 g) = 3 gr · 2 · 4/(6 · 3 g)

y_max = 4r/3

L'altezza raggiunta in volo è esattamente h, quella che separa il punto di partenza dal bordo della rampa di lancio, ossia OP. Un uovo niente male (Fig. 2)!

Viva i papallicoli!!