Oltre a quelle brillantemente riportate nei commenti al quiz da Andy e Sprmnt21 (non potresti mettere un nome più facile? :-) , ecco una soluzione alternativa...

Tracciamo il quadrilatero ABCD

Tracciamo anche il diametro AH e consideriamo i due triangoli rettangoli ABH e APD (blu e rosso). Il blu è rettangolo per costruzione e il rosso lo è in quanto AH è un diametro. L'angolo ADH è uguale all'angolo AHB in quanto angoli alla circonferenza sottesi dallo stesso arco AB. I due triangoli sono simili, per cui sono uguali anche gli angoli  DAC e HAB. Il che vuol dire che i segmenti  DC e BH sono uguali.

Sappiamo che

AB² = a² + b²

DC² = d² + c² = BH²

Risulta, perciò, che:

AB² + BH² = (2r)²

Possiamo scrivere:

a² + b² + d² + c² = (2r)² = 4r²

L'area del cerchio vale perciò:

πr² = π(a² + b² + d² + c² )/4

Quanto vale l'area di un quarto di cerchio?

Conoscendo la corda a, possiamo scrivere che il raggio R risulta essere:

R² = a²/2

La sua area è, quindi:

πR²/4 = π(a²/2)/4

L'area dei quattro quarti di cerchio (i nostri petali) vale, perciò:

A = π(a²/2 + b²/2 + c²/2 + d²/2)/4 = (1/2) π(a² + b² + d² + c² )/4

che è proprio la metà dell'area del cerchio.