21/12/14

L’una o l’altra per me pari sono **

Questo è un breve articolo a sé stante che, però, mette in evidenza un problema normalmente sottovalutato o -addirittura- dimenticato, che ha un’importanza enorme nel comprendere la differenza tra meccanica newtoniana e relatività generale. Vale la pena richiamarlo, dato che i buchi neri stanno “strapazzando” il nostro povero spazio-tempo.

Questo articoletto può vivere isolato rispetto alla problematica dei buchi neri e della curvatura dello spazio tempo. Tuttavia, può aiutare molto nella comprensione del concetto di curvatura.

Avevo pensato di partire dall’inizio e di descrivere come si passa da una geometria euclidea a una geometria sferica e iperbolica agendo soltanto sul quinto postulato di Euclide (quello delle rette parallele). Poi, ho realizzato che ci volevano parecchie “puntate” e di carne al fuoco ne abbiamo già fin troppa. La rimando a un prossimo futuro, data la sua grande importanza nel definire la geometria dello spazio-tempo. Mi limito perciò, per adesso, a spiegare nel modo migliore possibile (spero) quanto la visione di uno spazio-tempo curvo “semplifichi” di molto il “problema” introdotto dalla gravità nella teoria di Newton.

Il Problema in questione è di quelli con la “P” maiuscola. Spesso e volentieri non si tiene in conto e si accetta il risultato come qualcosa di ovvio, nascondendo la polvere sotto al tappeto. Sto parlando della “massa”, quella strana proprietà che hanno i corpi materiali e che dà ancora parecchio filo da torcere alla meccanica quantistica (ma anche a quella classica). Affrontiamolo nel modo più semplice possibile, considerando la forza di gravità.

Essa è una forza attrattiva che dipende solo dalle masse in gioco e dalla loro distanza. La formula è la ben nota:

F = GMm/r2

Non vi sono certo dubbi sulla sua veridicità (almeno per distanze relativamente piccole nella scala dell’Universo). Il moto dei pianeti e la caduta di una mela che si stacca da un albero sono solo alcune delle prove più evidenti.

Assumiamo una certa massa M e, a una distanza r da lei, inseriamo un oggetto di massa m. L’oggetto subisce una forza che dipende solo dalla sua massa, dato che il termine GM/r2 è costante. Più la massa m cresce e più cresce la forza che l’oggetto subisce a causa della presenza della massa M posta a una certa distanza. Ciò ci impone una logica riflessione: “Più grande è la massa m è più grande deve essere l’effetto causato da M. Dato che la forza è attrattiva dovrei vedere un’attrazione maggiore”. Sembrerebbe quasi ovvio dire che una maggiore attrazione voglia anche dire una maggiore velocità di caduta o qualcosa del genere. Allo stesso risultato erano giunti fior fiore di studiosi prima dell’arrivo di Galileo Galilei. Per non perdere il filo del discorso, chiamiamo massa gravitazionale questa massa m, dato che è quella che subisce l’azione della gravità di M.

Tuttavia, esiste un’altra legge ben conosciuta in Natura che dice che una forza divisa per la massa dell’oggetto che la subisce, dà luogo a una certa accelerazione. Accelerazione vuole anche dire velocità, dato che l’accelerazione è proprio una variazione di velocità. A parità di forza, l’accelerazione, ossia la variazione di velocità, diminuisce al crescere della massa seguendo l’altrettanto nota formula

F = m a

Come avete visto ho scritto la massa in un altro modo, rispetto a  prima (in corsivo). Questa massa m sembra agire in modo opposto a quella della gravità, in quanto sembra opporsi al moto e non aiutarlo. La chiamiamo massa inerziale.

Siamo giunti a un punto veramente critico. Abbiamo definito due masse per uno stesso oggetto: una che misura come la forza gravitazionale agisce su di lui e l’altra che misura come l’oggetto cerca di ribellarsi alla stessa forza.

Diciamo le cose in modo ancora più semplificato. Un oggetto di grande massa “sente” maggiormente la forza di gravità della Terra rispetto a un oggetto meno massiccio. Tuttavia, la massa maggiore “resiste” molto meglio alla forza che l’attrae di quanto non faccia una massa minore. Ovviamente, le poniamo entrambe alla stessa distanza da M. Siamo di fronte a un bel dilemma, che possiamo esprimere facilmente con un po’ di matematica.

Le due espressioni della forza DEVONO essere uguali, dato che entrambe funzionano benissimo in Natura. Abbiamo, perciò:

GmM/r2 = ma

Ricaviamo l’accelerazione che è quella che comanda la velocità di caduta:

a = (GM/r2) m/m

La quantità dentro parentesi è una costante. L’accelerazione dipende perciò solo dal rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale dell’oggetto. Non ci resta che provare con qualche esperimento, proprio come cercò di fare Galileo.

Bene, la Natura ci stupisce ancora una volta! L’accelerazione rimane costante, qualsiasi sia la massa m del corpo. Questo fatto può solo spiegarsi  se il rapporto tra le due masse rimane costante. Anzi, dalle misure, si ricava che questo rapporto deve valere proprio UNO. Ossia, le due masse devono essere perfettamente uguali.

La banale espressione:

m/m = 1, ossia:

m = m

è uno dei misteri più grandi dell’Universo e non esiste spiegazione adeguata. Così è e così bisogna accettarla! Non sto dicendo ovvietà, state attenti. Ancora oggi si cerca di stabilire una minima differenza tra le due masse, ma l’uguaglianza è sicuramente verificata fino alla dodicesima cifra decimale e si pensa di andare oltre attraverso esperimenti compiuti nel vuoto, su satelliti artificiali.

Questa conclusione comporta il ben noto fatto che, senza attriti, nel vuoto, una sfera pesantissima e una piuma cadono al suolo con la stessa velocità. Non per niente, questo esperimento è stato eseguito dai primi astronauti sulla Luna. Una cosa è credere nelle leggi fisiche e un’altra è toccare con mano…

Ripetiamo ancora una volta un concetto fondamentale nella fisica, anche se troppo spesso trascurato: una massa di due chili “sente” la forza di gravità della Terra due volte più forte rispetto a una massa di un chilo. Tuttavia, la massa di due chili resiste due volte meglio alla forza che l’attrae rispetto a una massa di un chilo. Quanto spinge una, tanto frena l’altra! Come conseguenza due corpi di massa diversa subiscono la stessa accelerazione quando sono attratti da uno stesso oggetto e quindi si muovono con la stessa velocità (partendo dalla stessa distanza, ossia con lo stesso r).

Una coincidenza che ha dell’incredibile… e si può esprimere con una frase estremamente coincisa che ci servirà tra poco: la caduta libera di un corpo avviene in un solo modo, indipendentemente dalla sua massa. In altre parole, la geometria è “in larga parte” indipendente dalle masse in gioco: le traiettorie descritte da un corpo sono uguali per masse piccole o grandi.

La straordinaria uguaglianza vale, però, nella meccanica newtoniana. Einstein ha cercato di “aggirare” l’ostacolo o -meglio- di superarlo in maniera decisamente più semplice.

Il grande Albert si è completamente disinteressato della possibile differenza tra le due masse, introducendo la gravità come una deformazione dello spazio-tempo. Il tutto si risolve ammettendo che la struttura stessa dello spazio-tempo determina le traiettorie descritte da un corpo, qualsiasi sia la sua massa. E’ come se due autoveicoli di massa estremamente diversa, a motore spento, venissero collocati su una stretta strada in discesa, senza alcun attrito. Entrambe sarebbero costrette a percorrere la stessa traiettoria fino alla fine della discesa. Questa è, in fondo, la teoria della relatività generale: un ottimo sistema per evitare un’uguaglianza dall’apparenza miracolosa!

E’ la stessa struttura dello spazio-tempo a determinare la caduta libera dei corpi e non le forze che agiscono su di essi.

Insomma, Einstein non ha fatto altro che nascondere la polvere sotto al tappeto. Però, l’ha fatto con notevole genialità! E il suo sistema “di comodo” sembra funzionare molto bene in Natura, sicuramente meglio di quello di Newton.

La figura che segue è quella che avevo usato nel libro “La Fisica addormentata nel bosco”, dove il nostro oggetto mostra in pieno la doppia “faccia” della sua massa: una che cerca di attrarre o di essere attratta e l’altra che cerca di resistere all’attrazione.

fisica19.2

Questo articolo fa parte della serie "Verso la RG", in quanto propedeutico alla comprensione della Relatività Generale, QUI trovate tutti quelli che sono stati scritti fino ad ora.

QUI trovate l'approfondimento dedicato alla Relatività Generale

20 commenti

  1. Alvermag

    Caro Enzo, quante coincidenze ..... in giro per l'universo!

    Mah, se accettiamo l'idea della casualità dobbiamo accettare anche l'idea del multiverso, tanti universi ciascuno con le sue regole specifiche.
    E perchè tante coincidenze proprio nel nostro? Beh, forse altre coincidenze sono presenti in altri universi e, comunque, le "nostre" coincidenze potrebbero essere necessarie a consentire la vita che potrebbe non esistere negli altri universi.

    Visto così mi sembra che il sistema degli universi possa avere una logica, altrimenti ... via libera all'oscurantismo intellettuale :roll:

    O no? chissà ...... 8-O

  2. davide1334

    bell'articolo enzo.una curiosità che volevo chiedere anche nell'altro articolo...vabbè la metto qua tanto è uguale: lo spazio tempo subisce una curvatura in prossimità di un oggetto e maggiore è la massa dell'oggetto e maggiore sarà la curvatura
    spaziotemporale.ok?pensando ,chessò,alle massime esplosioni del cosmo,nel momento dell'esplosione di una supernova ad esempio,lo spazio tempo subisce una curvatura anche in senso opposto? cioè la spiegazzatura del tessuto cosmico può avvenire anche come dire... al contrario? spero di essermi spiegato

  3. caro Davide,
    la curvatura dipende solo da quella che chiamiamo forza di gravità. In un'esplosione di supernova non vi è un cambiamento di gravità e quindi lo spaziotempo ne risente ben poco. Diversa è la situazione quando una massa accelera in modo deciso e si originano le onde gravitazionali.

  4. mah... Alvy,
    a volte le coincidenze hanno una ragione che ancora non capiamo. Inoltre, potrei dire che se le cose non fossero andate così non saremmo qui a raccontarle (anche se non ci credo...). Insomma o si ricade nei vari principi antropici o non resta che attendere la sistemazione della gravità all'interno della MQ... Secondo me i multiversi sono solo una rappresentazione di un qualcosa che ancora non sappiamo descrivere...

  5. Paolo

    Scusa Enzo, ma vorrei capire meglio cosa succede con l'esplosione di una supernova.
    In sintesi quando la stella esplode, una parte della sua massa viene espulsa, ciò significa che la quantità di materia concentrata in prossimità della stella è diminuita e la restante parte è sparpagliata in uno spazio circostante sempre più ampio.
    La curvatura dello spazio tempo in prossimità della ex stella dovrebbe diminuire, man mano che la materia espulsa si allontana da quella porzione di spazio, oppure no?

    Paolo

  6. davide1334

    grazie enzo,porta pazienza per le mie domande a volte peregrine diciamo.ne ho un'altra a proposito,che magari esce dal seminato specifico,continua a portare pazienza va...
    parlando sempre delle esplosioni di supernova,si riesce a stimare in percentuale,più o meno, quanto un astro perde di massa nel complesso tra la sua sequenza principale,la sua fase di gonfiamento e ciò che rimane nel nucleo dopo l'esplosione? in sostanza,quanto "restituisce" al cosmo e quanto invece se ne resta blindata in "cassaforte"?

  7. davide1334

    ah, leggo solo ora paolo....telepatia :lol:

  8. Paolo

    Più che telepatia, semplicemente ho ripreso la tua stessa domanda :wink:

    Penso, però, che conti molto la scala temporale, ossia la velocità con cui la materia si ridistribuisce nello spazio circostante..... .
    Quando si forma un buco nero il collasso gravitazionale trascina "istantaneamente" lo spazio tempo, quando esplode una stella la materia si ridistribuisce nello spazio circostante con una certa velocità (un pò come lasciar andare un elastico di colpo, oppure tirarlo molto lentamente, il primo produce un "onda", nel secondo caso l'onda è pressochè inesistente).

    Non ho idea però se tale ragionamento ha qualche fondamento..

    Paolo

  9. davide1334

    uhm si,interessante quanto dici,poi hai ragione, non potrebbe essere comunque una forza diciamo "simmetrica" legata solo alla scala temporale:in un caso è una sorta di onda d'urto che si propaga verso l'esterno,smorzandosi e diluendosi,l'altro causa una piega permanente nel tessuto spaziotemporale....boh,vabbè aspettiamo che enzo finisca la digestione del pranzo domenicale :lol:

  10. Attenzione Paolo,
    non è la massa in sé che causa una curvatura di spaziotempo sempre maggiore fino ad arrivare al buco nero, ma il suo collasso verso una densità molto elevata. La massa del Sole non causa nessun buco nero, ma se la comprimi dentro un raggio di pochi chilometri, si crea un buco nero.

  11. Caro Davide,
    la perdita di massa può essere più o meno elevata. L'importante è che quella che collassa (non più trattenuta dalla fusione degli elementi del nucleo) sia maggiore di 3 masse solari. Solo così la gravità riuscirà a schiacciarla fino a superare ogni barriera conosciuta. Se è minore di 3 ma maggiore di 1,4 masse solari, il collasso viene bloccato dai neutroni e abbiamo una stella di neutroni. In parole molto povere, ovviamente... :wink:

  12. Alvermag

    Hai scritto che:
    "ancora oggi si cerca di stabilire una minima differenza tra le due masse, ma l’uguaglianza è sicuramente verificata fino alla dodicesima cifra decimale e si pensa di andare oltre attraverso esperimenti compiuti nel vuoto, su satelliti artificiali".

    La domanda è: si cerca nella giusta direzione? Intendiamoci, la mia è una piccola provocazione, non pretendo certo di dire agli scienziati dove e cosa cercare (sono abbastanza presuntuoso, ma non fino a questo punto!).

    Devo aver letto che alle alte o altissime energie il monopòlo magnetico potrebbe comparire. Tutti sappiamo che alle condizioni ordinarie non è possibile separare il polo positivo magnetico da quello negativo; provate a fare a fettine una calamita: per quanto vi industriate continuerete sempre ad avere da una parte il + e dall'altra il -.

    Chiederete: cosa c'entra questo con la massa? Beh, forse nelle condizioni ordinarie le "due masse" sono "fuse insieme". Forse, accelerando dei protoni a velocità prossime a quella della luce, potrebbe rompersi questa ipotetica (e fantasiosa?) simmetria.

    Si, lo so, tali velocità sono già state raggiunte nei diversi acceleratori. Non so però se sia mai stato effettuato un qualche esperimento per verificare quanto scrivo e, d'altra parte, nemmeno so se avrebbe un senso: intanto la massa cambia per ragioni relativistiche, inoltre si sperimenterebbe la massa inerziale come reazione ai campi magnetici sempre più intensi ... e la massa gravitazionale? Come si potrebbe valutare? Bah, temo sia solo un'idea balzana.

    Però Enzo, oltre a chiederti qualche delucidazione su quanto ho scritto, ti faccio una richiesta più concreta:
    - qual'è la massa che il protone raggiunge negli acceleratori di particelle, diciamo LHC? So che la velocità arriva a 99,999% di c.

  13. se non mi sbaglio si dovrebbe essere a 7000 GeV... ma non sono molto al corrente degli ultimi risultati... :oops:

  14. Alvermag

    Si, scusa Enzo, in effetti potevo calcolarla da me.

    A parziale riparazione, sottopongo agli appassionati del blog un'interessante tabella che riporta la variazione della massa di un generico oggetto al variare della velocità, secondo la teoria della relatività:

    m0 è la massa a riposo dell'oggetto.
    m è la massa accelerata dell'oggetto.
    c è la velocità della luce nel vuoto.

    se v = 0,9*c m = 2 m0
    se v = 0,99*c m = 7 m0
    se v = 0,999*c m = 22 m0
    se v = 0,9999*c m = 71 m0
    se v = 0,99999*c m = 224 m0
    se v = 0,999999*c m = 707 m0
    se v = 0,9999999*c m = 2.236 m0
    se v = 0,99999999*c m = 7.071 m0
    se v = 0,999999999*c m = 22.360 m0

    L'interesse della tabella sta nel fatto che, ad una velocità pari a ben il 90% della velocità della luce, la massa risulta appena raddoppiata.
    Questa tendenza è generale, nel senso che gli effetti relativistici (quali che siano) diventano veramente importanti per velocità già prossime a c.
    Se la natura avesse fatto altre scelte, addio LHC e relativa particella di Dio.

    Forse aveva ragione Einstein: la natura è sottile, mai maliziosa. Veramente Einstein chiamò in causa qualcun altro, ma insomma .... il succo non cambia.

    E' corretto Enzo?

    N.B.: notate la ricorrenza dei numeri saltando ogni due righe.

  15. alexander

    caro Enzo il concetto e' come al solito chiarissimo pero' riflettendoci tendo ad andare un po' nel pallone....
    all'inizio degli articoli sul momento angolare avevi detto che la massa e' da considerarsi come una grandezza scalare ma oggi ad esser sincero mi e' sembrata come un qualcosa di determinabile non solo attraverso un numero...
    E' emersa (come ovvio) strettamente collegata alla deformaziome dello spazio tempo e anche all'accellerazione...
    non e' che magari alcuni pro lemi concettuali sulla massa possono essere superati considerandola come una specie di vettore strano anch'essa quindi con una direzione e un verso? Infondo per opporsi ad un accellerazione in una certa direzione bisogna avere una forza con verso opposto.
    Magari nel nostro mondo ci accorgiamo solo del suo modulo (e per questo massa inerziale e gravitazionale combaciano) ma magari a condizioni relativistiche entrano in gioco anche le sue caratteristiche vettoriali che permettono di separare questi due concetti di massa?
    non so se sono riuscito a spiegarmi...

  16. che dirvi ragazzi...
    è ovvio che la fantasia può andare dove vuole. Tuttavia, vi ricordo che uno stesso genio come Einstein non è riuscito a risolvere il problema della massa (a parte quella relativistica, ma è ancora un'altra cosa). Pensate che veramente né lui né altri "capoccioni" non abbiano pensato a situazioni diverse? La massa non può essere vettore per la sua stessa definizione (se no non sarebbe più massa). E se anche lo fossero dovrebbero comunque avere modulo uguale e il discorso non cambia... A meno di non credere alla legge di Newton e alla stessa relatività che, in fondo, nasconde il doppio volto ma non lo risolve.
    Devi ripetermi. Così è se vi pare... e poi chissà??? Io non mi sento in grado di prospettare idee alternative che non potrei mai verificare e/o confermare. Newton e Einstein ci sono riusciti e non solo loro...

  17. Alvermag

    "...che dirvi RAGAZZI…"

    Ti ringrazio per ... il buon cuore ....

  18. siamo RAGAZZI dentro... perfino io... :oops:

  19. Paolo

    Leggendo l'articolo, su questa rappresentazione della massa come Giano bifronte, mi sorge un dubbio (su cui non avevo mai riflettuto).

    Nella rappresentazione newtoniana della gravità, mi sembra che il duplice ruolo giocato dalla massa di un oggetto sottoposto ad un campo gravitazionale, si eguagli di fatto.

    Ossia, più è grande questa massa più è difficile da spostare (aumenta la resistenza che oppone al movimento e quindi per spostarla dello stesso intervallo di spazio in intervallo di tempo occorre una forza maggiore … F = ma) ed allo stesso tempo più è grande tale massa più risente della forza di attrazione gravitazionale....(F = mGM/r^2).

    La strana coincidenza è che la massa dell'oggetto varia la sua “frenata” della stessa proporzione di quanto viene maggiormente accelerata rispetto ad una massa più piccola, in pratica le due opposte proprietà della massa si compensano l'un l'altra
    (a = (GM/r^2) m/m ) ed appaiono simmetriche (almeno questo è ciò che appare entro i limiti di tolleranza dettati dalle misure effettuate).

    Nella relatività di Einstein la deformazione dello spazio tempo (dovuta alla presenza di masse concentrate in una porzione di spazio) determina la caduta libera dei corpi.

    Tale condizione obbliga i corpi a muoversi in traiettorie “obbligate” dettate dalla geometria curva dello spazio-tempo (ovviamente in relazione alle loro traiettorie e velocità iniziali), ma come si risolve il problema dell'uguale velocità (o meglio accelerazione) con cui i corpi si muovono lungo tali percorsi, indipendente dalla loro massa?

    Paolo

  20. caro Paolo,
    il succo è lo stesso. Non conta la massa se sei obbligato a fare una certa traiettoria con una certa curvatura. Conta solo la traiettoria, proprio come capita nella meccanica newtoniana. Cerca di non fati suggestionare dal concetto di caduta di un corpo vicino a una massa. Non è una caduta, ma una traiettoria obbligatoria anche per un oggetto senza massa come il fotone. La curvatura della strada dipende solo dalla massa che deforma lo spazio. Il problema degli imbuti e di altre rappresentazioni analoghe hanno proprio questo rischio "visivo". Pensa a una sfera. Se parti dall'equatore ad angolo retto, qualsiasi retta (cerchio massimo) che prendi ti porta comunque in uno dei due poli. Non solo, ma puoi andare sia sopra che sotto. Non c'entra la gravità ma solo la traiettoria che sei obbligato a prendere.
    Spero che quando parleremo di curvatura molti dubbi si scioglieranno...

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