9/04/15

Punti Lagrangiani, Lobi di Roche e Sfera di Hills: così simili così diversi *

I Punti Lagrangiani sono una soluzione particolare del problema dei tre corpi, solitamente nel caso che la massa del terzo corpo sia trascurabile rispetto a quella degli altri due. Essi si ricavano per via matematica uguagliando le forze che giocano su un oggetto posto in balia di due corpi massicci e rappresentano le soluzioni di equilibrio che permettono alla massa trascurabile di rimanere “ferma” rispetto al sistema delle due masse rotanti attorno al comune baricentro. Devono, perciò, intervenire le forze di gravità e la forza  centrifuga che agiscono sull’oggetto.

Le soluzioni danno punti, per così dire, "statici" nel sistema rotante e hanno applicazioni importanti sia in Natura che da parte dell’uomo. I due punti più famosi astronomicamente sono quelli di equilibrio stabile, dove si trovano, ad esempio, i troiani di Giove. L1 e L2, invece, sono la posizione ideale per osservare il Sole senza essere mai disturbati o proprio l’opposto, ossia osservare il cielo senza avere problemi da parte del Sole. I punti lagrangiani sono, quindi, un problema essenzialmente dinamico o -meglio- di meccanica celeste.

Essi sono strettamente collegati ai lobi di Roche, il cui interesse è essenzialmente “fisico” e permettono di stabilire il trasferimento di massa da una stella a un’altra. Sono casi particolari della mappa completa che raffigura le superfici equipotenziali legate a due masse in rotazione attorno al comune baricentro. Vi è sovrapposizione tra punti lagrangiani e limiti particolari delle superfici. Ad esempio, L1 è proprio l’unico punto dove la materia può trasferirsi da una stella all’altra. I lobi di Roche, e tutta la situazione che li circonda, sono un problema essenzialmente energetico.

Vi è, infine, la sfera di Hill, che è di interesse essenzialmente pratico, in quanto definisce in modo piuttosto approssimato la zona in cui un oggetto può mettersi in orbita attorno a un altro, che a sua volta rivolve attorno a una massa più grande. E’ una situazione di equilibrio dinamico, in quanto si vuole definire lo spazio in cui qualcosa possa ancora rivolvere attorno a una certa massa, malgrado sia fortemente perturbato dalla massa principale. E’ il caso dei satelliti artificiali e dei satelliti in genere.

La sua determinazione è oltremodo aleatoria e dipende da molti fattori, dato che è stabilita dalla teoria delle perturbazioni, un problema non risolvibile analiticamente. Se ne danno, normalmente, soluzioni approssimate e restrittive ed è un po’ come gli ascensori: vi è scritto che possono portare quattro persone anche quando ne possono portare “teoricamente” una ventina… Ma, meglio non rischiare. Così, data una certa sfera di Hill, si preferisce sempre immettere i satelliti molto all’interno del suo limite massimo.

In qualche modo, può essere collegata ai punti lagrangiani L1 e L2, dato che quando si è in quelle posizioni le forze gravitazionali dei due corpi principali si esprimono in modo semplice. Tuttavia, la sfera di Hill è una sfera in cui è possibile un movimento di rivoluzione, mentre i punti lagrangiani definiscono punti di equilibrio (instabili) rispetto all’intero sistema rotante.

In poche parole, la faccenda è abbastanza ben comprensibile a parole, ma estremamente complessa (se non impossibile) nei fatti. Gli stessi punti lagrangiani sono una soluzione matematica che comporta, però, un’ equazione di quinto grado, che va trattata con approssimazioni successive.

Cercherò, perciò, di spiegare i vari concetti al meglio, ma non illudetevi di arrivare a soluzioni matematicamente semplici e complete. Potremo spiegare molte cose, ma altre le dovremo accettare come dati di fatto. E, soprattutto, datemi un po’ di tempo per cercare di descrivere con chiarezza le varie determinazioni e i loro legami, senza sconfinare nella matematica pura…

A presto…

Una spiegazione dettagliata di tutti i punti lagrangiani e del lobo di Roche la trovate QUI

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