Nov 8

39. Esercitiamoci con Taylor e Mclaurin ***

In questo articolo applichiamo la serie di Mclaurin a due funzioni estremamente importanti. Di seguito trovate anche qualche esercizio…

Applichiamo quanto abbiamo dimostrato, in due modi molto diversi, a delle vere funzioni che abbiano le giuste caratteristiche (continue e derivabili).

Ricordiamo la formula di Taylor

f(x) = Σn = 0 f n(x0)(x - x0)n/n!

Ma, soprattutto, quella di Mclaurin che useremo normalmente. Come già detto la seconda non è altro che la prima applicata al punto di ascissa x0 = 0.

f(x) = Σn = 0 f n(0)xn/n!

Cominciamo, svolgendo insieme uno dei casi più famosi e utili, quello relative alla funzione y = ex. La funzione è sicuramente continua ed è anche derivabile infinite volte. In particolare, le derivate sono sempre uguali e coincidono con la funzione di partenza. Gran bella comodità…

Scriviamo la (1) per esteso:

f(x) = f(0) + f ’(0) x + f ”(0)x2/2!+ f III(0)x3/3! + f IV(0)x4/ 4! + · · ·

e applichiamola al caso f(x) = ex

Ovviamente, tutte le derivate di ex valgono sempre ex  e, calcolate in 0, danno come risultato 1.

Lo sviluppo in serie diventa:

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/ 4! + … = Σn=0 xn/n!

Possiamo, ora, calcolare la funzione nel punto in cui x = 1 e si ha:

e1 = e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/ 4! + …

che ci permette di calcolare il numero e con tutti i decimali che si vogliono…

Proviamo con un’altra funzione semplice, ma di estrema importanza:

f(x) = 1/(1 - x)

Tutte le derivate successive della funzione hanno come denominatore (1 – x) elevato a potenze successive, che quindi è sempre uguale a 1 per x0 = 0. Il numeratore è invece proprio una moltiplicazione successiva degli esponenti, ossia n!

Verifichiamolo (il calcolo delle derivate lo lascio a voi per esercizio):

f(0) = 1/(1 - 0) = 1

 

f ’(x) = 1/(1 - x)2

f ’(0) = 1

 

f ”(x) = 2/(1 – x)3

f ”(0) = 2 = 2·1 = 2!

 

f III(x) = 6/(1 - x)4

f III(0) = 6 = 3·2·1 = 3!

 

f IV(x) = 24/(1 – x)5

f IV(0) = 24 = 4·3·2·1 = 4!

Per cui la

f(x) = f(0) + f ’(0) x + f ”(0)x2/2!+ f III(0)x3/3! + f IV(0)x4/ 4! + · · ·

diventa:

1/(1 – x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · = Σn=0 xn

Proprio la somma di tutte le potenze di x (ricordiamo che x0 = 1 e x1 = x), che rappresenta una serie geometrica (il rapporto tra due termini consecutivi è costante). Va detto che la formula vale solo per -1 < x < 1, ossia è convergente solo in questo intervallo. Al di fuori di questo intervallo la serie diverge.

Il risultato precedente ci dice anche che la somma dei termini di una serie geometrica vale 1/(1 –x)

Potete anche divertirvi, in entrambi i casi, a rappresentare in grafico le varie funzioni ottenute per valori dell’esponente crescente (retta, parabola, cubica, ecc…). In tal modo vi accorgerete del continuo miglioramento e studierete qualche bella funzione.

Se poi non ne avete abbastanza potete scrivete le serie di Mclaurin (fino al quinto grado) delle seguenti funzioni (e magari  provare a scrivere il termine generale sintetizzato):

y = sen(x)

y = (1 + x) 1/2

y = ln(1+x)

Buon divertimento!

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

15 commenti

  1. umberto

    ho provato a trovare una espressione generale solo per (1+x)^1/2
    perchè ho visto che gli altri due esempi sono già noti molto nella letteratura.
    Mi sembra un pò troppo complessa, non so se c'è una soluzione più semplice,
    e se questa poi sia corretta.
    Non so nemmeno se faccio bene a postarla, non vorrei far confondere le idee.
    la derivata si compone in due parti; (1+x) elevato ad un esponente che parte da -1/2 per la derivata prima
    e poi successivamente -3/2, -5/2, ecc.
    In ogni caso, come nell'esempio dell'articolo se sviluppiamo per x=0 , abbiamo (1+0) elevato ad un esponente frazionario
    che dà sempre 1, l'altra parte è un coefficiente moltiplicativo che prende questa successione di valori:
    1/2,1/2 *(-1/2), 1/2 *(-1/2)*(-3/2), 1/2 *(-1/2)*(-3/2) ecc
    non si può ricorrere però al fattoriale. a denominatore abbiamo una potenza di 2,
    i numeratori sono invece una sucessione di -2:
    (partendo però da n=2) in poi e raccogliendo il primo fattore 1/2:
    -1,-3,-5,-7
    questi potrebbero essere ottenuti così:
    1-2,1-2-2,1-2-2-2,1-2-2-2-2
    cioè per n>=2:
    -1*(-3)*(-5) * ...(1-2*(n-1))
    mettiamo tutti segni positivi (pensiamo poi al segno del prodotto)
    1*3*5*7*...(2n-3)
    per n=2 il segno è negativo, per n=3 positivo ecc, per qui il segno potrebbe essere
    (-1)^(n-1)
    il termine generale (al numeratore) è quindi:
    (1/2)*(1*3*5*..(2n-3))*(-1)^(n-1) sempre per n>=2
    al denominatore abbiamo invece 2^(n-1)
    passando allo sviluppo e ricordando che f(0)=1, f'(0)=1/2
    f(x)= 1 + x/2 + 1/2 * Σ (X^n/n!)*(1/2^(n-1) *(1*3*5*..(2n-3))*(-1)^(n-1) dove la sommatoria è da n=2 a ∞

  2. aspetto a dare le risposte... ma ti consiglierei di provare con un esponente qualsiasi e poi, alla fine, sostituirlo con quello che ti serve ...

  3. attenzione che la serie citata da Umberto non è proprio banale per quanto riguarda il termine generale. Meglio limitarsi a scrivere i primi termini. In ogni modo, introduce il coefficiente binomiale (generalizzato), di cui parleremo un poco durante la soluzione...

  4. Paolo

    Caro Enzo anche se ho svolto i tre esercizi :roll: , sto preparano le figure di accompagnamento per cui dovrei postare i risultati domani o dopo…

    Ho anche provato a scrivere i termini generalizzati (anche se ho improvvisato parecchio :mrgreen: )…. poi si vedrà se le soluzioni sono corrette o sbagliate…

    Nel frattempo posto le due figure che descrivono le varie curve di approssimazione delle due funzioni:
    f(x) =e^x
    f(x) = 1/(1-x)

    Nella prima figura è rappresentata la curva esponenziale di f(x) = e^x
    http://www.astrobin.com/full/222995/P/

    Nella seconda figura sono rappresentati i due rami dell’iperbole descritta dalla funzione f(x) = 1/(1-x)
    http://www.astrobin.com/222995/O/

    Le figure mostrano cosa cambia man mano che si aggiungono termini alla serie di Taylor (in questo caso di Mclaurin, dato che x0=0)

    Le approssimazioni, partono dalla retta (derivata prima), passando per la parabola (derivata seconda ed x al quadrato), per la cubica (derivata terza ed x al cubo), fino ad un grado di approssimazione n=6 (Serie di Mclaurin, dato che il punto di riferimento per i calcoli è x0=0).

    Noto che le curve di approssimazione con esponente pari (multipli di 2) sono parabole sempre più funzionali all'approssimazione, mentre quelle con esponente dispari (multipli di 3) sono cubiche….

    In entrambi i casi l’approssimazione realizzata si riferisce sempre ad un intervallo della curva e non all'intera funzione (i famosi f(a) e f(b)).

    Infine due parole sul calcolo delle derivate successive della funzione f(x) = 1/(1-x)…

    A mio avviso basta ricordare che y= 1/(1-x) si può scrivere come y = (1-x )^-1, in modo da avere a che fare con una funzione di funzione, la cui derivata è uguale a:
    f (g(x))= (1-x)^-1
    f’ (g(x)) = -1 (1-x)^-2 = -1/(1-x)²
    g (x) = 1 - x
    g’ (x) = -1
    y’ = f ‘(g(x)) g’(x) = (-1) -1/(1-x)^-2 = + 1/(1-x)²

    I risultati delle derivate sono già riportati nell'articolo, per cui sarebbe inutile rieseguire i calcoli …… il procedimento, però (derivata di funzioni di funzioni), può risultare utile anche per svolgere gli esercizi proposti …. :wink:

    Paolo

  5. molto bene Paolo... però ricorda che le curve dispari non sono "cubiche", dato che lo è solo quella con esponente 3. Così come quelle pari non sono "parabole", ma quadriche, ecc., ecc. Piccolezze e capisco il senso del tuo discorso, ma la matematica vuole ... rigore :wink:

    Mi piacerebbe che tentassi di scrivere il termine generico della funzione di Umberto... anche se capisco che va oltre le mie spiegazioni...

  6. Paolo

    E' proprio quella a cui mi riferivo.... che per scrivere i termini generici ho improvvisato parecchio... mi sa che ci sarà da ridere... :lol:

    Paolo

  7. umberto

    ho provato a fare più volte i conti con n=4
    con il calcolo delle derivate:
    f(0)=1
    f'(0)=1/2
    f''(0)=-1/4
    f'''(0)=3/8
    f''''(0)=-15/16
    dunque 1+x/2-1/4* 1/2!x^2 +3/8 *1/3!x^3 -15/16 *1/4!x^4=
    1+x/2 -1/8x^2 +1/16 x^3 -5/128 x^4

    con la formula:
    f(x)= 1 + x/2 + 1/2 * Σ (X^n/n!)*(1/2^(n-1) *(1*3*5*..(2n-3))*(-1)^(n-1)

    1+ x/2 +1/2(1/2!*1/2*(-1) x^2 +1/3!+1/4*3 *x^3 +1/4!*1/8 *1*3*5*(-1) *x^4)=
    1+ x/2 +1/2(-1/4*x^2 +1/8 *x^3 - 5/64 *x^4)=
    1+x/2 -1/8*x^2 +1/16 *x^3 -5/128 *x^4
    non so dove sbaglio

  8. caro Umberto, non ho detto che sbagli , anzi...la serie è giusta. Ma per cercare di compattare la formula generale ricorrente è meglio lavorare con (1 + x)^k e poi, solo alla fine, sostituire k con 1/2. Quella che hai scritto tu è un po' troppo elaborata... o, almeno, così mi sembra. Io la scriverei in un altro modo, in modo che poi alla fine si possano introdurre i coefficienti binomiali (di cui accennerò qualcosa...). Non voglio assolutamente confonderti... 8-O

  9. umberto

    ah,meno male, scrivere quelle sommatorie risulta complicato in un semplice testo senza i caratteri speciali della matematica,pensavo di aver omesso o sbagliato qualcosa

  10. umberto

    in effetti geralizzando ad un esponente generico k
    le derivate successive (calcolate in zero) sono:
    1,k,k(k-1),k(k-1)(k-2),...,k(k-1)(k-2)..(k-n+1)
    (almeno per n>=2), quindi il termine generale sarebbe
    x^n k(k-1)(k-2)..(k-n+1)/n! ma non so come compattare questo termine
    ultriormente,
    anche se assomiglia molto a qualcosa (coefficiente binomiale) ,
    o perlomeno non ne vedo il significato
    per k che non sia un numero intero

  11. ottimo Umberto... sei arrivato al QUID!!! E' infatti il coefficiente binomiale generalizzato, ossia esteso anche a numeri frazionari... Domani scrivo qualcosa, ma senza andare nei dettagli se no ci si infila nel calcolo delle probabilità e non ne usciamo più vivi :-P

  12. Paolo

    Caro Enzo ho finito le figure, per cui posto lo svolgimento dei tre esercizi (sperando che le soluzioni sia corrette). :roll:
    Sui termini generici, non conoscendo i termini corretti per cui ci sarà da ridere... :lol:

    a) y = sen(x)
    Trovo il valore della funzione e delle derivate con x0=0
    f(x) = sen (x)
    f(0) = sen (0) = 0
    La derivata di sen(x) = cos (x):
    f’(x) = cos (x)
    f’(0) = cos (0) = 1
    La derivata di cos (x) = -sen (x):
    f’’(x) = -sen (x)
    f’’(0) = -sen (0)= 0
    La derivata di -sin(x) = -cos (x):
    fIII(x) = -cos (x)
    fIII(0) = -cos (0)= -1
    La derivata di -cos (x) = sen (x):
    fIV(x) = sen (x)
    fIV(0) = sen (0)= 0
    Di nuovo, la derivata di sen(x) = cos (x):
    fV(x) = cos (x)
    fV(0) = cos (0)= 1
    Sostituisco i valori trovati nella serie di Mclaurin
    f(x) = f (x0) + f’(x0) x/1! + f”(x0) x²/2! + fIII(x0) x³/3! + fIV(x0) x^4/4! + fV(x0) x^5/5! ….
    f(x) = 0 + (1) x/1! + (0) x²/2! + (1) x³/3! + (0) x^4/4! + (1) x^5/5! …..
    f(x) = x + x³/3! + x^5/5! = x + x³/6 + x^5/120
    Dato che compaiono solo i termini dispari, ho inserito una (d) tra parentesi per indicare dispari (prima risata?? :lol: ), per cui generalizzando forse si potrebbe scrivere così:
    f(x) = Σ∞ n=0 xn (d)/n(d)!

    Non ho inserito figure, poiché nel precedente articolo la figura 3 rappresentava già questo tipo di funzione.

    b) y = (1 + x)^1/2
    Trovo il valore della funzione e delle derivate con x0=0
    f(x) = (1 + x)^1/2
    f(0) = (1 + 0)^1/2 = 1
    Si tratta della derivata di una funzione di funzione, per cui:
    f’(x) = f’(g(x)) g’(x) = (1) 1/2 (1+x)^-1/2 = 1/2 (1+x)^-1/2
    f’(x) =1/2(1+x)^1/2
    f’(0) =1/2 (1+ 0)^1/2 = 1/2
    f’’(x) =(1) (1/2) (-1/2) (1+x)^-3/2 = -(1/4) (1+x)^-3/2
    f’’(x) = -1/4(1+x)^3/2
    f’’(0) = -1/4 (1+0)^3/2 = -1/4
    fIII(x) = (1) (-3/2) (-1/4) (1+x)^-5/2= (3/8) (1+x)^-5/2
    fIII(x) = 3/8 (1+x)^5/2
    fIII(0) = 3/8 (1+0)^5/2 = 3/8
    fIV(x) = (1) (-5/2) (3/8 ) (1+x)^-7/2 = - (15/16) (1+x)^-7/2
    fIV(x) = - 15/16 (1+x)^7/2
    fIV(0) = - 15/16 (1+0)^7/2 = - 15/16
    fV(x) = (1) (-7/2) (-15/16) (1+x)^-9/2 = (105/32) (1+x)^-9/2
    fV(x) = 105/32 (1+x)^9/2
    fV(0) = 105/32 (1+0)^9/2 = 105/32
    fVI(x) = (1) (-9/2) (105/32) (1+x)^-11/2 = - (945/64) (1+x)^-11/2
    fV(x) = - 945/64 (1+x)^11/2
    fV(0) = - 945/64 (1+0)^11/2 = -945/64
    Sostituisco i valori trovati nella serie di Mclaurin
    f(x) = f (x0) + f’(x0) x/1! + f”(x0) x²/2! + fIII(x0) x³/3! + fIV(x0) x^4/4! + fV(x0) x^5/5! +fV(x0) x^6/6!…
    f(x) = 1+ 1/2 x/1! -1/4 x²/2! + 3/8 x³/3! - 15/16 x^4/4! + 105/32 x^5/5! -945/64 x^6/6!
    I denominatori sono tutte potenze di 2 (2^n) moltiplicate per n!
    Il numeratore è moltiplicato (oltre che per x^n) ad ogni passaggio per una progressione di numeri dispari, ossia: 1; 3; 5; 7; 9 ecc. una specie di numero fattoriale dispari....un fattoriale salterino: (1) (1) (3) (5) (7) (9) (11)... ecc
    non so come scriverlo per cui uso S!
    Infine ad ogni n pari il segno diventa negativo, un po' come se fosse moltiplicato per -1

    Generalizzando forse si potrebbe scrivere così (seconda risatona... :lol: ):
    f(x) = Σ∞ n=0 S! (xn (d) e 0 - xn (p))/n! 2^n
    n(p) sta per pari e n(d) per dispari

    Infine sostituisco ai numeri fattoriali i loro valori numerici, nella funzione approssimata:
    f(x) = 1+ 1/2 x/1! -1/4 x²/2! + 3/8 x³/3! - 15/16 x^4/4! + 105/32 x^5/5! -945/64 x^6/6!
    f(x) = 1+ 1/2 x -1/4 x²/2 + 3/8 x³/6 - 15/16 x^4/24 + 105/32 x^5/120 -945/64 x^6/720
    f(x) = 1+ 1/2 x -1/8 x² + 1/16 x³ – 5/128 x^4 +7/256 x^5 -21/1024 x^6

    La figura mostra la funzione (un po' dispettosa dato che la radice quadrata tronca i risultati negativi e la curva parte di botto da x =-1) e le curve di approssimazione:

    http://www.astrobin.com/full/225997/0/

    c) y = ln(1+x)
    Trovo il valore della funzione e delle derivate con x0=0
    f(x) = ln(1+x)
    f(0) = ln(1+0) = ln 1 = 0 (basta ricordare che e^0 =1)
    Si tratta della derivata di una funzione di funzione, per cui:
    f (g(x)) = ln(1+x)
    f’(g(x)) = 1/(1+x)
    g(x) = x
    g’(x) = 1
    f’(x) = f’(g(x)) g’(x) = (1) 1/(1+x) = 1/(1+x)
    f’(x) =1/(1+x) = (1+x)^-1
    f’(0) =1/(1+0) = 1
    f’’(x) = (-1) (1+x)^-2 = - (1+x)^-2
    f’’(x) = -1/(1+x)²
    f’’(0) = -1/(1+0)² = -1
    fIII(x) = (-1) (-2) (1+x)^-3 = (2) (1+x)^-3
    fIII(x) = 2/(1+x)³
    fIII(0) = 2/(1+0)³ = 2
    fIV(x) = (2) (-3) (1+x)^-4 = -(6) (1+x)^-4
    fIV(x) = -6/(1+x)^4
    fIV(0) = -6/(1+0)^4 = -6
    fV(x) = (-4) (-6) (1+x)^-5 = (24) (1+x)^-5
    fV(x) = 24/(1+x)^5
    fV(0) = 24/(1+0)^5 = 24
    fVI(x) = (24) (-5) (1+x)^-6 = -(120) (1+x)^-6
    fVI(x) = -120/(1+x)^6
    fVI(0) = -120/(1+0)^6 = -120
    Sostituisco i valori trovati nella serie di Mclaurin
    f(x) = f (x0) + f’(x0) x/1! + f”(x0) x²/2! + fIII(x0) x³/3! + fIV(x0) x^4/4! + fV(x0) x^5/5! +fV(x0) x^6/6!…
    f(x) = 0 + 1 x/1! -1 x²/2! + 2 x³/3! - 6 x^4/4! + 24 x^5/5! -120 x^6/6!
    Infine sostituisco ai numeri fattoriali i loro valori numerici:
    f(x) = 0 + 1 x -1/2 x² + 2 x³/6 -6 x^4/24 + 24 x^5/120 -120 x^6/720
    f(x) = x -1/2 x² + 1/3 x³ -1/4 x^4 + 1/5 x^5 -1/6x^6

    Il denominatore è uguale all'esponente di x e tutti gli n pari hanno segno negativo (terza risata :lol: ).
    Generalizzando forse si potrebbe scrivere così:
    f(x) = Σ∞ n=0 (xn (d) - xn (p))/n

    La figura mostra il risultato ottenuto:

    http://www.astrobin.com/full/225997/B/

    Paolo

  13. carissimi,
    domani -se riesco- inserisco i risultati... Oggi giornata terribile: partenza alle 6 e ritorno alle 17 per passare la giornata in ospedale a Cuneo, sperando di concludere le analisi preventive per l'operazione al braccio di mia figlia... Conclusione? Nulla di fatto, dato che mancava una TAC di controllo che nessuno ci aveva detto di fare. Sembra che dovessimo pensarci da soli... Ossia, adesso, bisogna anche fare i medici...
    Sono stravolto... a domani! :( :evil:

  14. umberto

    se indico con Pi=0 n-1 k(k-i) il prodotto da i=0 fino a n-1
    (andrebbero come pedice e apice di P
    ma non riesco a scriverlo)
    posso esprimere (1+x)^k=Σ n=0 ∞ x^n/n! * P i=0 n-1 k(k-i) ?
    sarebbe una scrittura abbastanza compatta.

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