30/10/15

37. Costruzione “rigorosa” della formula di Taylor (prima parte) ***/****

Questo non è un articolo facile, non tanto per i concetti che esprime, ma piuttosto per il numero di passaggi che siamo obbligati a fare. Si basa su un teorema classico delle funzioni e presenta perciò un metodo rigoroso, che abbisogna, però, di iterazioni successive (mai facili da digerire e da tenere sottocchio). Mi sembrava, però, doveroso proporlo.

Prima di partire, dobbiamo ricordare un teorema fondamentale dell’analisi matematica: il teorema di Rolle. Esso sembra del tutto ovvio e, come sempre capita in queste situazioni, la dimostrazione rigorosa è tutt’altro che banale e possiamo tranquillamente evitarla.

Esso può essere enunciato come segue:

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo (a,b), è derivabile e vale inoltre f(a) = f(b), allora esiste sicuramente una x0 nell’intervallo (a,b) in cui f ’(x0 ) = 0.

Abbiamo scritto qualcosa di veramente semplice e intuitivo, che viene descritto perfettamente nella Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

Come appena detto, la funzione deve essere continua (senza punti peculiari o salti improvvisi) e derivabile. La seconda assunzione evita il caso della retta congiungete a con b, dato che la derivata sarebbe sempre nulla.

Ne segue che qualsiasi cosa faccia la funzione nell’intervallo (a,b), essa, partendo da f(a), deve tornare a  f(b) = f(a).  Non è difficile concludere che, se deve essere “curva”, deve esistere almeno un punto di massimo e/o minimo all’interno dell’intervallo (a,b). Ma un punto di massimo e/o di minimo deve anche avere una x0 tale che f '(x0) = 0.

Sembra una vera sciocchezza (ma sapeste quanti teoremi fondamentali dell’analisi matematica hanno questa apparenza…) e non possiamo certo complicare ciò che è semplice. Tuttavia, da questo teorema ne segue uno leggermente più complicato che prende il nome di teorema di Lagrange. Esso può essere considerato una generalizzazione di quello di Rolle. Il suo enunciato è il seguente:

Se una funzione f(x) è continua e derivabile  nell’intervallo (a,b) ed è inoltre f(a) ≠ f(b), allora esiste sicuramente un punto di ascissa x0 nell’intervallo (a,b) tale che la tangente alla funzione in quel punto sia parallela alla congiungente i punti P(a,f(a)) e Q(b,f(b)).

Lo vediamo rappresentato in fig. 2.

Figura 2
Figura 2

Beh… potremmo facilmente dire che non è altro che il teorema di Rolle “ruotato”. In realtà, è proprio così, ma la dimostrazione è abbastanza laboriosa. Accettiamola per buona, dato che il risultato è abbastanza intuibile. Più interessante è tradurlo in una semplice formula:

f ’(x0) = (f(b) – f(a))/(b – a)        …. (1)

Che dice, praticamente, che la tangente in (x0, f(x0)) è parallela alla congiungente P(a, f(a)) con Q(b,f(b)). Infatti, la derivata prima non è altro che il coefficiente angolare della tangente in x0.

Questa  formula è proprio quella che ci serve per introdurre la serie di Taylor…

La funzione sia definita e derivabile indefinitamente nell’intervallo (a,b), ossia esistano tutte le sue derivate successive. La (1) può essere applicata all’intervallo (x0, x), interno ad (a,b), diventando:

(f(x) – f(x0))/(x – x0) = f ’(x1)    …. (2)

Dove x1 è compreso tra x0 e x, ossia x0 < x1 < x

Per le ipotesi di partenza, possiamo dire che f ’(x1) dipende solo e soltanto dall’intervallo (x, x0). Infatti, se cambiassi gli estremi, cambierebbe anche il punto in cui la tangente è parallela alla retta che collega i due estremi e di conseguenza anche il coefficiente angolare della stessa tangente.

f ’(x1) può essere considerata composta da due parti, una costante e una variabile. Come valore costante prendiamo proprio f ’(x0) e chiamiamo ε la parte variabile, ossia:

f ’(x1) = f ’(x0) + ε

La (2) diventa:

(f(x) – f(x0))/(x – x0) = f ’(x0) + ε

f(x) = f(x0) + (x – x0)(f ’(x0) + ε)

f(x) = f(x0) + (x – x0) f ’(x0) + (x – x0)ε        …. (3)

Ma che tipo di funzione può essere questa ε ?

Di sicuro non può essere una costante dato che se derivassimo la (3) sotto questa ipotesi avremmo:

f ’(x) = 0 + f ’(x0) + ε = f ’(x0) + ε

Questa “banale” relazione ci dice che ε deve annullarsi nel momento in cui x = x0. E’ l’unico modo perché si ottenga f '(x0) = f ’(x0)!

Perché questo possa succedere, la via più ovvia è che ε sia funzione di x – x0, ossia:

ε = C2(x – x0)      …. (4)

con C2 costante (vi state accorgendo che cerchiamo di inserire fin da subito i coefficienti della serie…). Il pedice 2 ha una sua ragione d’essere, come vedremo tra poco.

Sostituiamo la (4) nella (3) e otteniamo:

f(x) = f(x0) + (x – x0) f ’(x0) + C2(x – x0) (x – x0)

f(x) = f(x0) + (x – x0) f ’(x0) + C2(x – x0)2           …. (5)

Non ci resta adesso che derivare di nuovo la (5),  per cercare di determinare il valore di C2.

f ’(x) = f ’(x0) + 2C2(x – x0)

(f ’(x) – f ’(x0))/(x – x0) = 2C2

Ma, applicando di nuovo il teorema di Lagrange alla funzione f ’(x) (continua e derivabile per definizione) si ha:

(f ’(x) – f ’(x0))/(x – x0) = f ”(x2)

da cui:

C2 =  f ”(x2)/2      …. (6)      (il pedice 2 corrisponde al grado della derivata)

Ovviamente, con x0 < x2 < x

Sostituiamo la (6) nella (5)

f(x) = f(x0) + (x – x0) f ’(x0) + f ”(x2)(x – x0)2/2   …. (7)

f(x) - f(x0) - (x – x0) f ’(x0) = f ”(x2)(x – x0)2/2    …. (8)

Il secondo membro della (8) non è altro che ciò che manca al primo membro per arrivare fino alla funzione originaria. In altre parole l’errore che si commette approssimando la curva con la tangente in x0.

Chiamiamo questo “errore”, resto di Lagrange e lo indichiamo con R2:

R2 = f ”(x2) (x – x0)2/2

Speravate di essere alla fine? Purtroppo no… siamo solo all’inizio o quasi (ecco perché i tre-quattro asterischi dell’articolo, anche se le operazioni e i concetti non sono difficili).

Per adesso possiamo solo dire che l’errore commesso è di ordine superiore alla funzione che abbiamo usato come approssimazione. In particolare abbiamo anche trovato che dipende dalla derivata seconda…

Non ci resta che ripetere quanto fatto finora. Prima, però, digerite bene questa prima parte...

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

48 commenti

  1. Alfierecampochiaro - Massimo

    Leggendo questo articolo mi sembra di essere ritornato il giovane capellone entusiasta del primo anno di università. Potresti anche farmi rispuntare i capelli, già che ci sei?

  2. facilissimo Massimo... basta volerlo, fortissimamente volerlo!!! :mrgreen:

  3. Luigi

    Grazie Vincenzo, fin qui ben spiegato!

  4. Paolo

    Caro Enzo, ho ragionato parecchio su questo articolo.... :roll:

    Innanzitutto sul teorema di Lagrange, per cercare di comprenderne meglio il significato ho realizzato due figure...

    L'intento è quello di dimostrare che se prendo due punti (A e B) di un tratto di curva continuo e derivabile e traccio una retta che li congiunge, questa traslata diventa la tangente alla curva in un certo punto (C)

    Nella prima curva si ha il caso più semplice, quello in cui C rappresenta un punto massimo e f(xa) = f(xb)..... la tangente della curva nel punto di massimo si annulla, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a zero (m=0), ossia lo stesso coefficiente angolare della retta che “unisce” A e B ed in questo particolare caso (f(xa) = f(xb)) è parallela anche all'asse x (due rette sono parallele se hanno il medesimo coefficiente angolare m).
    Ho anche indicato un segmento h max che unisce il punto C alla perpendicolare della retta che congiunge A e B, che rappresenta la massima distanza tra le due rette.

    Nella seconda curva ho disegnato due assi d fittizi (x' e y') al fine di dimostrare che il ragionamento è lo stesso di prima, solo che la tangente ha un coefficiente angolare m diverso da zero, ma sempre identico alla retta che congiunge A e B.
    Anche in questo caso il punto C si trova alla massima distanza h max tra le due rette parallele.

    http://www.astrobin.com/full/215950/R/

    Ovviamente, anche usando le stesse due curve, variando i punti A e B, varia anche il coefficiente angolare m della retta tangente alla curva e la posizione del punto C.

    http://www.astrobin.com/full/215950/S/

    C'è una frase nel tuo articolo che non mi è molto chiara:
    “ f ’(x) = 0 + f ’(x0) + ε = f ’(x0) + ε
    Questa “banale” relazione ci dice che ε deve annullarsi nel momento in cui x = x0. E’ l’unico modo perché si ottenga f(x0) = f ’(x0)!”

    La prima parte è chiara, ossia che ε deve annullarsi nel momento in cui x = x0, ma non capisco in che senso si ottiene f(x0) = f ’(x0) :?:

    Partendo dalla penultima formula (7) ho provato a ragionare su come approssimare meglio la curva, ossia come diminuire ulteriormente l'errore ε (ma non so se il ragionamento è corretto):
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f”(x2)/2 (7)
    dove il secondo membro rappresenta l'errore stimato (il resto di Lagrange R2)
    R2 = (x – x0)² f”(x2)/2

    Ora, prima di proseguire provo ad applicare lo stesso ragionamento fatto con f '(x1) = f' (x0) + ε alla derivata seconda, ossia, fissando come costante la derivata seconda calcolata nel punto f''(x0) (x0 < x2 < x), quindi dovrebbe valere la relazione:
    f'' (x2) = f''(x0) + ε
    Ovviamente il Teorema di Lagrange, ci dice che:
    f'' (x2) = (f '( x) - f '( x0))/(x-x0)
    Ossia indica come varia la derivata prima, nell'intervallo tra x ed x0.

    A questo punto sostituisco il valore di f'' (x2) = (f''(x0) + ε) nella formula (7):
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f”(x2)/2
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² (f''(x0) + ε)/2
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + (x – x0)² ε 1/2

    La nuova funzione ε, non può essere costante, quindi deve dipendere da (x – x0), ed il suo coefficiente deve valere anch'esso qualcosa tipo C3(x – x0), solo che la ε compare come metà ½ ε, quindi:
    ½ ε = C3(x – x0)
    ε = 2C3(x – x0)
    Ora non resta che provare a sostituire il valore di ε nell'ultima equazione trovata:
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + (x – x0)² ε ½
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + (x – x0)² 2C3 (x – x0) 1/2
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + C3 (x – x0)³

    Per trovare il valore di C3, eseguo la derivata prima:
    f'(x) = f’(x0) + 2(x – x0) f''(x0) /2 + 3 C3 (x – x0)²
    f'(x) = f’(x0) + (x – x0) f''(x0) + 3 C3(x – x0)²
    Eseguo la derivata seconda:
    f''(x) = f''(x0) + 6 C3(x – x0)
    f''(x) – f''(x0)/(x – x0) = 6 C3
    ma per il Teorema di Lagrange
    f''(x) – f''(x0)/(x – x0) = f'''(x3)
    f'''(x3) = 6C3
    C3 = f'''(x3)/6
    Infine:
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + C3 (x – x0)³
    f(x) = f (x0) + f’(x0) (x – x0) + (x – x0)² f''(x0) /2 + (x – x0)³ f'''(x3)/6

    Sembra funzionare, ma è corretto? :roll:

    Paolo

  5. caro Paolo, tu dici:
    "La prima parte è chiara, ossia che ε deve annullarsi nel momento in cui x = x0, ma non capisco in che senso si ottiene f(x0) = f ’(x0)".

    Tu hai una relazione del tipo:

    f ’(x) = f ’(x0) + ε

    E' ovvio che deve ottenersi f '(x0) = f '(x0), ossia la funzione a primo membro calcolata in x0 deve essere uguale a se stessa (al secondo membro). Rimane allora il fastidio di epsilon, che deve annullarsi perché ci sia l'uguaglianza. Tuttavia, abbiamo imposto che epsilon sia non costante e quindi anche diversa da zero, il modo più semplice perché essa diventi zero per x = xo è che lei sia formata da una costante C e da un termine variabile che vada a zero per x = x0, ossia (x - x0).

    Per il resto sei sulla strada giusta, ma la funzione non può più essere epsilon, ma un'altra... Il concetto però è abbastanza corretto. :wink:

  6. Paolo

    Scusa Enzo,
    che f ’(x) = f ’(x0) + ε e che quindi se x= x(0) con ε che si annulla, si ha
    f '(x0) = f' (x0) è chiaro (o anche che f(x) = f (x0).... f(x0) = f (x0) ), ma non capisco come la funzione in x0 possa essere uguale alla derivata prima della funzione calcolata in x0, ossia come si ottiene:
    f (x0) = f' (x0)

    Grazie per la pazienza.

    Paolo

  7. Diego

    Scusate l'intromissione ma se dovete approfondire facendo lezione usando il blog facciamo Natale :-D

  8. Non mi picchiare Paolo :(

    Tutto dipendeva dall'aver perso un apice per strada... adesso è tutto a posto. Poverino... avevi voglia di trovare che f(x0) = f '(x0). Volevo solo scrivere l'ovvietà f '(xo) = f '(xo)!!!
    E pensare che questa volta avevo letto e riletto l'articolo molte volte, ma l'apice è scappato lo stesso... :oops:

  9. Diego

    Ma se serve a Massimo per fagli ricrescere la capigliatura allora faccio subito un passo indietro. :mrgreen:

  10. caro Diego...
    ci sono infiniti siti dove si dimostra la formula di Taylor. Il mio era un tentativo di semplificazione che il link che riporti tu non fa di certo. Il problema non era assolutamente una ricerca di approfondimento da parte di Paolo, bensì solo un mio refuso insignificante ma veramente deleterio!!! :-|

  11. Diego

    Beh!! Insomma non mi sembra poi così complicato il PDF che ho postato basta leggere con la dovuta attenzione e poi era rivolto a Paolo che già ne mastica, l'ho fatto appunto per evitare confusione e "refusi vari" ed il soffermarsi prolungatamente su analisi matematiche che nel loro stesso essere non possono essere trattate e spiegate in maniera troppo semplicistica correndo il rischio di andare in confusione come vedo ti è successo.
    Già che ci sono spero tu abbia letto i link che ti ho postato riguardanti la volontà da te espressa di portare le riflessioni di questo circolo anche nelle scuole "inferiori".
    Spero caldamente che alle parole faccia eco la volontà di esporsi in prima persona per tentare di portare all'attenzione degli organi competenti quanto di buono e di positivo hai costruito con il tuo lavoro di divulgatore.
    Altrimenti saranno solo belle parole al vento..... :roll:

  12. No, Diego non sono d'accordo. Io non sono "andato in confusione" per cercare di semplificare, ma ho solo scritto un refuso che può capitare anche scrivendo il teorema di Pitagora e dimenticandosi un apice 2... Sarebbe troppo facile inserire sempre link ad articoli già scritti che ritengo un po' troppo complicati per TUTTI e non solo per Paolo. Il mio modesto lavoro è quello di cercare di portare il massimo a tutti (o quasi). Il problema è che sbaglio sempre di più nella scrittura e i commenti di Paolo mi servono a trovare gli errori. Visto che per te non è difficile quanto hai linkato, perché non mi hai avvisato del refuso? Io ho bisogno di tutti voi per divulgare... Da solo gli errori nello scrivere formule si moltiplicano, sicuramente per mia limitazione, ma anche perché sono solo...

    Riguardo agli altri due link non capisco cosa dovrei fare? Puoi essere più chiaro? Dovresti ormai sapere che io non ho paura di espormi, ma vorrei capire come...

  13. Paolo

    Meno male Enzo, che era un semplice refuso, proprio non riuscivo a trovare una spiegazione... :-D

    Caro Diego, a mio modesto avviso, c'è una grossa differenza tra imparare le regole matematiche (come nell'articolo che ha linkato) e conoscere come nascono tali regole.

    In questo anno e mezzo che frequento il blog, ho trovato una serie di articoli di Enzo che non si limitavano ad enunciare formule o procedimenti, ma che cercavano di spiegarne le motivazioni...

    Spesso la matematica, a torto, viene ritenuta una materia ostica 8-O , proprio perché si riduce a formule senza che ne sia stato compreso il senso.

    E' la ricerca di comprensione quella che spesso mi spinge a porre domande, oppure a cercare soluzioni alle questioni emerse provando a descrivere il ragionamento svolto...

    A volte ci azzecco, altre volte toppo alla grande :oops: , ma non è mai tempo sprecato.... ogni tentativo costringe a ragionare e sviscerare i problemi facendo emergere limiti e potenzialità o meglio ciò che si pensa di aver compreso e ciò che invece risulta meno chiaro.

    Forse, ma sottolineo forse, l'esporre i dubbi o ciò che si pensa di aver compreso offre spunti di riflessione anche ad altri, altre, che leggono... ma in ogni caso è utile per aumentare la propria conoscenza...... poi sai io sono un po' come San Tommaso, quando penso di aver compreso qualcosa cerco subito di metterlo e di mettermi alla prova. :mrgreen:

    Paolo

  14. Daniela

    Caro Paolo,
    continuo, come ti avevo già detto qualche tempo fa, a provare nei tuoi confronti una "sana invidia"... mi piacerebbe tanto avere il tempo di fare quello che fai te!!
    Ma, piano piano, sto facendo più di quanto pensavo fosse possibile e sono moderatamente soddisfatta :-D

  15. cari amici e, in particolare, caro Diego,
    Purtroppo, mi rendo conto che i refusi si accavallano e ringrazio Paolo che riesce sempre a scovarli. Mi spiace molto che, a causa di questo, Paolo sia costretto a sprecare più tempo del giusto... Il fatto è che, quando rileggo, non riesco proprio a notarli... Forse metto troppa carne al fuoco, ma è più forte di me.
    Spero proprio che, malgrado queste mie carenze, riesca comunque a comunicare e a semplificare.
    Diego ha ragione, dato che spesso posso creare confusione, ma vi assicuro che rifiuto spesso i link già pubblicati perché mettendomi nei panni di chi legge trovo sempre qualche difficoltà inutile. Spesso, basta una frase in più, un passaggio elementare o una sola parola e tutto prende un'altra piega. Non crediate, però, che sia opera molto facile e spesso mi devo scervellare sul come presentare un concetto a costo di inserire qualche errore veniale che potrò in seguito correggere attraverso la comprensione.
    Comunque, siamo un gruppo unito e sono felice quando mi prendete in fallo, dato che è l'unico modo per migliorare...
    Nessun timore quindi e siate sicuri che non ho alcun problema ad ammettere i miei errori, più o meno gravi che siano!
    Grazie dell'aiuto!!!!! :wink:

  16. Daniela

    Tranquillo, Prof., la caccia all'errore fa parte del gioco, è stimolante e non sai che soddisfazione si prova quando si riesce a scovarne uno :mrgreen: !!
    Sono solo dispiaciuta di non poter, per ora, cimentarmi in questo gioco negli articoli di matematica perché sono ancora alla lezione n°8 :oops: e poi Paolo è talmente veloce che riuscirei mai a competere...

  17. Daniela

    ops... mi è rimasto un "non" nella tastiera... come vedi non sei l'unico a sbagliare!! :wink:

  18. Diego

    Paolo risparmiati i tuoi "sofismi" che hanno in sé tutta la spiacevolezza dell'ostentazione gonfia e dell'insidia faziosa.
    Ribadisco ciò che più mi preme che è la ricerca della semplicità ma se e dove non è possibile eviterei intelligentemente di trattare argomenti che per i più risultano ostici... Ma se è volontà vostra tenere un livello alto per ostentare senza nulla dare come contributo al prossimo beh! allora fate come vi pare.
    Per me bisogna dare le basi se si vuole approfondire fatelo in privato oppure fate come me ed andate a leggervi ciò che di buono esiste e che non vuole contraddire Enzo anzi è complementare per capire meglio anche i punti di vista degli stessi argomenti che il prof tratta visti in altri lavori dello stesso livello e magari anche migliori nell'esposizione o nella lettura maggiormente gratificanti.
    Paolo ti riesce bene il linguaggio matematico ma "relazionalmente" lasci un poco a desiderare per te ci vuole umiltà ricorda questa parola.... :roll:

  19. Diego

    Daniela hai la lingua sporca!!! 8-O :mrgreen:

  20. Diego

    Caro Enzo ritorniamo a ciò che più mi interessa:
    Riguardo ai link che ti ho invitato a visionare l'idea mia era quella di provare a portare il tuo lavoro all'attenzione degli organi competenti magari lavorando in sinergia con loro per introdurre non solo un metodo ma evidenziando l'importanza di portare il discorso (meccanica quantistica e non solo) anche nelle scuole dell'obbligo mostrando tutti i benefici ed il valore che sono intrinsechi nello studio dei vari fenomeni macro o micro quali essi si possono riferire....
    Questo è solo un'abbozzo di pensiero che possiamo sviluppare tutti insieme (anche Paolo) :mrgreen:

  21. Daniela

    Sono sinceramente dispiaciuta, Diego, per la tua reazione e non la capisco... la varietà di argomenti nel Circolo è piuttosto vasta e, se ti irrita la matematica con i lunghi commenti di Paolo e i refusi del Prof., sei libero di ignorarla.
    Ma, sopratutto, credo che sia fuori luogo il tono con cui ti rivolgi a chi si esprime in un modo che non condividi...

  22. Diego

    Sono stato ancora abbastanza morbido...
    Di solito sono anche peggio con chi mi rompe le scatole.
    Dani, sei libera di manifestare ammirazione ma io ho imparato a mie spese che l'ammirazione è un sentimento da sciocchi.
    Preferisco, da uomo di buon senso quale sono, al massimo "sentire" approvazione.
    Riguardo la matematica e la modalità nella trattazione ho già espresso abbondantemente la mia opinione ed il mio parere.
    E per finire, come dicono a Napoli "cà niscunno è fesso"....
    Buonanotte!!

  23. No, così non ci siamo proprio...

    Le parole che hai rivolto a Paolo sono profondamente sbagliate! Io ammetto che spesso e volentieri esprimo apertamente la mia ammirazione a Paolo, ma per motivi che sono intrinseci allo spirito e allo scopo del circolo. Paolo non vuole assolutamente fare il saputello (oltretutto ha ammesso di non avere basi molto solide), ma cerca di affrontare ogni argomento con vera umiltà culturale. Sia che si tratti di QED sia che sia un semplice teorema di Rolle, egli parte da zero, con estrema umiltà e raziocinio. Non ha paura di sbagliare, ma tanta volontà di provare.
    Lui, oltretutto, non cerca mai di complicare ciò che viene trattato, ma si pone dubbi e cerca di applicare solo ciò che viene trattato. Questo è proprio quello che vorrei si facesse nel circolo: capire meglio, fare propri i concetti, metterli in pratica ma senza voler andare avanti o -peggio- "di lato". Proprio su questo pericolo avevo spesso discusso con Alvy...

    Quando è il caso di approfondire qualcosa che mi sembra di livello troppo elevato sono io il primo a inserire link esterni (vedi caso dell'allineamento planetario).

    Caro Diego, sembra quasi che ti dia fastidio il lavoro che Paolo porta avanti con dedizione e volontà. Secondo me, fa invece parte degli scopi del circolo. Non tutti possono seguirlo per problemi di tempo, di lavoro, di famiglia, ecc., ecc., ma non per questo bisogna scoraggiarlo.

    Ci sta benissimo che tu vada in altri siti a cercare di completare e ampliare certi argomenti, ma questa è una soluzione personale che posso anche condividere, ma che non posso assolutamente istigare, dato che creerebbe veramente un'enorme confusione prima che chiarimenti. Almeno questo è quello che credo fermamente e che non posso che seguire nel mio tentativo di divulgare anche le cose più "noiose".

    In ogni modo, evitiamo attacchi personali che già hanno portato a situazioni estranee al nostro modo di fare in tempi passati... Tra poco inserirò degli esercizi sulle serie. Bene, partecipa anche tu alla loro soluzione, ma senza andare su altri siti, dato che non sono certo io il depositario dei lavori di Taylor e Mclaurin e troverai ovunque i risultati. Vedere che molti partecipano non può che dare nuova linfa e vigore al nostro tentativo divulgativo!

  24. caro Diego,
    riguardo ai link sull'insegnamento...
    Prendere contatti e cercare di farsi ascoltare è un lavoro in più che in questo momento non riesco a sostenere. Oltretutto, abbiamo solo iniziato a cercare di dare ordine a un po' di idee, mentre bisognerebbe avere qualcosa di completo e strutturato. Tuttavia, se tu vuoi aiutarci in questo, cercando di indirizzare altri link verso di noi, hai la mia piena approvazione... :wink:

  25. Diego

    Enzo sullo sviluppo del blog ho espresso la mia opinione la mia ambizione se così vogliamo chiamarla è di portare tutti sullo stesso livello nel limite del possibile, come dovrebbe fare un buon maestro fermandosi e preoccupandosi degli ultimi Paolo probabilmente ha meno bisogno di altri.
    Voi usate il linguaggio matematica ma non tutti lo comprendono e come tu stesso hai detto non hanno ne il tempo ne la voglia ed anche le capacità per affrontare il complicato (perché non renderglielo semplice perché privarli del gusto della scoperta).
    Non devono essere esclusi da certe conoscenze altrimenti diversamente siamo sulla strada giusta per diventare una "lobby culturale" proprio l'esatto contrario di quello per cui ho aderito a questo blog.
    Perciò mi ripeto fino allo sfinimento argomenti comprensibili alla maggioranza se si vuole approfondire fatelo pure per i fatti vostri o in altro ambito (lezioni private) ma non monopolizziamo il blog che è pubblico perché è al pubblico che è rivolto altrimenti come si può avere la pretesa di portare un metodo "divulgativo" che sia alla portata anche dei più giovani e di chi si affaccia nell'infinito teatro del cosmo..............
    Vincenzo torniamo alle "bucce" ti faccio presente se non te ne rendessi conto che hai alle spalle una mole di lavoro non indifferente tra libri articoli pubblicati e riconoscimenti vari della tua carriera.... Io da piccolo apprendista stregone quale sono mi domando ma perché Enzo invece di inveire qui contro chi maltratta la verità scientifica non entra in azione e scende nella fossa a combattere contro i leoni 8-O :mrgreen: Lo so e facile giocare con la pelle altrui ed è difficile scendere tra i leoni specialmente se si ha molto da perdere.
    Ma purtroppo come diceva Bennato 8) per far muovere la gente non bastano i discorsi ci vogliono le bombe 8-O :mrgreen:
    Se nessuno fa un passo per cambiare le cose tra cent'anni ci sarà un'altro Vincenzo che si ritroverà con gli stessi problemi che si avevano cent'anni prima.... 8-O

  26. Diego

    Poi hai visto che ti seguono anche emeriti uomini di scienza e che il tuo blog non passa così inosservato allora lanciamo insieme un'appello per esempio:
    Unità italiana di Eurydice
    dell’Agenzia Nazionale per lo Sviluppo dell’Autonomia Scolastica (ex Indire)
    O meglio contattiamoli noi:
    Direttore Antonio Giunta La Spada.
    Tel.:0039 055 2380 325 - 515- 384 - 571
    Fax: 0039 055 2380 399
    eurydice.italia@indire.it
    Ponendo all'attenzione dei ricercatori i nostri obbiettivi per lavorare in sinergia e portare avanti il nostro discorso.
    Ricercatori che hanno collaborato alla redazione del contributo
    Simona Baggiani, Erika Bartolini, Alessandra Mochi.
    Se vuoi lo faccio io per te???
    Vuoi anche un motto? Eccolo: Passione per la conoscenza al servizio e alla ricerca della virtù..... :mrgreen:

  27. Diego

    Ho letto millanta storie di cavalieri erranti,
    di imprese e di vittorie dei giusti sui prepotenti
    per starmene ancora chiuso coi miei libri in questa stanza
    come un vigliacco ozioso, sordo ad ogni sofferenza.
    Nel mondo oggi più di ieri domina l'ingiustizia,
    ma di eroici cavalieri non abbiamo più notizia;
    proprio per questo, Sancho, c'è bisogno soprattutto
    d'uno slancio generoso, fosse anche un sogno matto:
    vammi a prendere la sella, che il mio impegno ardimentoso
    l'ho promesso alla mia bella, Dulcinea del Toboso,
    e a te Sancho io prometto che guadagnerai un castello,
    ma un rifiuto non l'accetto, forza sellami il cavallo !
    Tu sarai il mio scudiero, la mia ombra confortante
    e con questo cuore puro, col mio scudo e Ronzinante,
    colpirò con la mia lancia l'ingiustizia giorno e notte,
    com'è vero nella Mancha che mi chiamo Don Chisciotte...

    Questo folle non sta bene, ha bisogno di un dottore,
    contraddirlo non conviene, non è mai di buon umore...
    E' la più triste figura che sia apparsa sulla Terra,
    cavalier senza paura di una solitaria guerra
    cominciata per amore di una donna conosciuta
    dentro a una locanda a ore dove fa la prostituta,
    ma credendo di aver visto una vera principessa,
    lui ha voluto ad ogni costo farle quella sua promessa.
    E così da giorni abbiamo solo calci nel sedere,
    non sappiamo dove siamo, senza pane e senza bere
    e questo pazzo scatenato che è il più ingenuo dei bambini
    proprio ieri si è stroncato fra le pale dei mulini...
    E' un testardo, un idealista, troppi sogni ha nel cervello:
    io che sono più realista mi accontento di un castello.
    Mi farà Governatore e avrò terre in abbondanza,
    quant'è vero che anch'io ho un cuore e che mi chiamo Sancho Panza...

    Salta in piedi, Sancho, è tardi, non vorrai dormire ancora,
    solo i cinici e i codardi non si svegliano all'aurora:
    per i primi è indifferenza e disprezzo dei valori
    e per gli altri è riluttanza nei confronti dei doveri !
    L'ingiustizia non è il solo male che divora il mondo,
    anche l'anima dell'uomo ha toccato spesso il fondo,
    ma dobbiamo fare presto perché più che il tempo passa
    il nemico si fà d'ombra e s'ingarbuglia la matassa...

    A proposito di questo farsi d'ombra delle cose,
    l'altro giorno quando ha visto quelle pecore indifese
    le ha attaccate come fossero un esercito di Mori,
    ma che alla fine ci mordessero oltre i cani anche i pastori
    era chiaro come il giorno, non è vero, mio Signore ?
    Io sarò un codardo e dormo, ma non sono un traditore,
    credo solo in quel che vedo e la realtà per me rimane
    il solo metro che possiedo, com'è vero... che ora ho fame !

    Sancho ascoltami, ti prego, sono stato anch'io un realista,
    ma ormai oggi me ne frego e, anche se ho una buona vista,
    l'apparenza delle cose come vedi non m'inganna,
    preferisco le sorprese di quest'anima tiranna
    che trasforma coi suoi trucchi la realtà che hai lì davanti,
    ma ti apre nuovi occhi e ti accende i sentimenti.
    Prima d'oggi mi annoiavo e volevo anche morire,
    ma ora sono un uomo nuovo che non teme di soffrire...

    Mio Signore, io purtoppo sono un povero ignorante
    e del suo discorso astratto ci ho capito poco o niente,
    ma anche ammesso che il coraggio mi cancelli la pigrizia,
    riusciremo noi da soli a riportare la giustizia ?
    In un mondo dove il male è di casa e ha vinto sempre,
    dove regna il "capitale", oggi più spietatamente,
    riuscirà con questo brocco e questo inutile scudiero
    al "potere" dare scacco e salvare il mondo intero ?

    Mi vuoi dire, caro Sancho, che dovrei tirarmi indietro
    perchè il "male" ed il "potere" hanno un aspetto così tetro ?
    Dovrei anche rinunciare ad un po' di dignità,
    farmi umile e accettare che sia questa la realtà ?

    Il "potere" è l'immondizia della storia degli umani
    e, anche se siamo soltanto due romantici rottami,
    sputeremo il cuore in faccia all'ingiustizia giorno e notte:
    siamo i "Grandi della Mancha",
    Sancho Panza... e Don Chisciotte !
    mio don chisciotte!!!

    (Francesco Guccini Don Chisciotte)

  28. Paolo

    Tengo molto a questo Blog e per rispetto ad Enzo non ho intenzione di farmi trascinare in un litigio virtuale. :twisted:

    Mi limito a notare che quando si è a corto di argomenti si passa agli attacchi personali, peraltro con motivazioni ridicole. 8-O

    Se frequento questo blog è proprio per imparare, per affinare la conoscenza (come altri, altre spero), per cui mi sembra normale ragionare sugli articoli di Enzo, porre domande, fare considerazioni….. e più persone partecipano, più si arricchisce la discussione ….si chiama partecipazione, una cosa che forse a qualcuno da fastidio, o che qualcuno pensa di sostituire svolgendo il ruolo del motore di ricerca, che almeno trova i link senza dare giudizi morali non richiesti… :evil:

    I commenti, le considerazioni, i dubbi non sono fatti privati, o lezioncine private, sono l’anima della partecipazione…… gli argomenti poi sono quelli che propone Enzo … e prima di iniziare questa serie di articoli che dovrebbero portare agli integrali ha chiesto il parere di tutti, coinvolgendo il circolo nella scelta.

    Se i mie commenti creano confusione o sottraggono tempo ad altri basta far notare ciò che crea confusione e soprattutto se ho compreso male la funzione il Blog, mi scuso e migrerò altrove...

    Paolo

    PS: Dani giusto per passare a cose più interessanti, come è andato l’esame di fisica di tua figlia?

  29. Daniela

    L'insegnante non ha ancora riportato il compito, ma è stato corretto in classe e Valentina è moderatamente ottimista!
    Ti terrò aggiornato... :wink:

  30. caro Diego,
    facciamo a non capirci...
    Tu dici:
    "Voi usate il linguaggio matematica ma non tutti lo comprendono e come tu stesso hai detto non hanno ne il tempo ne la voglia ed anche le capacità per affrontare il complicato (perché non renderglielo semplice perché privarli del gusto della scoperta).
    Non devono essere esclusi da certe conoscenze altrimenti diversamente siamo sulla strada giusta per diventare una "lobby culturale" proprio l'esatto contrario di quello per cui ho aderito a questo blog.
    Perciò mi ripeto fino allo sfinimento argomenti comprensibili alla maggioranza se si vuole approfondire fatelo pure per i fatti vostri o in altro ambito (lezioni private) ma non monopolizziamo il blog che è pubblico perché è al pubblico che è rivolto altrimenti come si può avere la pretesa di portare un metodo "divulgativo" che sia alla portata anche dei più giovani e di chi si affaccia nell'infinito teatro del cosmo.............."

    Ma io sto cercando proprio di insegnare la matematica e quindi è ovvio che parli con un linguaggio matematico, di cui spiego ogni minimo passaggio (a parte i refusi, ma quella è un'altra cosa). La matematica mi è stata espressamente chiesta da molti lettori ed è naturale che io mi rivolga a loro, permettendo, però, a tutti di partecipare alla conoscenza. Se qualcuno odia per partito preso la matematica può anche abbandonare o rimandare, ma è assurdo pensare di parlare di fisica e astrofisica senza tentare di fornire le basi del loro linguaggio.
    Non c'è nessun tentativo di lobby culturale, dato che per crearla sarebbe più ovvio parlare di equazioni complicate dandole per assodate. Io, invece, faccio proprio il contrario!
    L'approfondimento che spesso avviene con Paolo NON va mai fuori dai binari del livello degli argomenti trattati. Questa è la netta differenza rispetto a richieste di approfondimento estraneo (lì è giusto richiamare altri link).
    Se poi tu pensi che si possa affrontare l'astrofisica senza ledere la paura dei giovani verso la matematica più semplice (quello sto facendo, anche se tu pensi che stia affrontando argomenti estremamente complessi...), allora non ho alcun rimorso se quei giovani abbandonano il blog... Possono andare parlare di multiversi senza conoscere la derivata in altri siti, molto facilmente...
    Mi spiace, quindi, ma la tua argomentazione non sta in piedi e descrive un qualcosa che non faccio e non voglio fare assolutamente 8-O

  31. caro Paolo,
    come già detto, il tuo modo di intervenire è perfettamente in linea con lo spirito del circolo, dato che rimane nell'ambito di quanto trattato. Se qualcuno lo trova monotono e fastidioso, basta che non legga i commenti... Sono, però, convinto che molti che non commentano siano decisamente interessati all'argomento e ai tuoi dubbi e tentativi di applicazione. Altrimenti, non avremmo ricevuto tanti inviti a trattare la matematica... E si vede anche dal numero dei lettori che è insolitamente alto proprio per le puntate di matematica (malgrado sappiano già di cosa si parlerà e in che termini).

    Non esiste solo la fisica per i bambini (splendido tentativo a cui tu hai partecipato attivamente), ma anche quella per chi non ha avuto le possibilità, ma che ha la volontà
    di provarci.

    No, essere tacciato di fare lobby intellettuale è un discorso che non posso accettare!!!

  32. caro Diego, continuo... tu dici:
    "Io da piccolo apprendista stregone quale sono mi domando ma perché Enzo invece di inveire qui contro chi maltratta la verità scientifica non entra in azione e scende nella fossa a combattere contro i leoni 8-O :mrgreen: Lo so e facile giocare con la pelle altrui ed è difficile scendere tra i leoni specialmente se si ha molto da perdere.
    Ma purtroppo come diceva Bennato 8) per far muovere la gente non bastano i discorsi ci vogliono le bombe 8-O :mrgreen:"

    Guarda che mettere in luce le criticità di altri tipi di divulgazione è già una chiara entrata in azione. Come pensionato non posso fare molto di più e nemmeno questo è il mio compito. Fare chiarezza, però, e indirizzare alla scienza vera è un compito che mi assumo costantemente e con la massima perseveranza! Non saranno bombe atomiche, ma sono sempre bombe...

    Poi aggiungi:
    "Se nessuno fa un passo per cambiare le cose tra cent'anni ci sarà un'altro Vincenzo che si ritroverà con gli stessi problemi che si avevano cent'anni prima".
    Appunto non basta un Vincenzo che lancia le sue bombe, ma ci vuole un movimento di molti e non di un singolo...

    Se vuoi, quindi, agisci pure, ma senza ledere o travisare l'essenza del blog, come sembra che tu stia facendo da quanto detto in precedenza...

  33. Caro Paolo...
    non ti permettere minimamente di MIGRARE altrove... Ti verrei a prendere ovunque tu tentassi di rifugiarti :mrgreen: :twisted:

  34. Diego

    Io non cambio di una virgola il mio pensiero e non traviso voi continuate pure a fare ciò che vi pare io virtualmente non è che ci posso fare molto e cercar di far volare un elefamte mi è ancora impossibile ma credo in ciò che ho espresso infondo ho ragione parole t ante fatti pochi....

  35. Diego

    Dato che sono a corto di argomenti mi pare di essere stato l'unico che ha proposto qualcosa nel senso di agire per smuovere le acque....
    Certo è più semplice restare comodi in poltrona il tuo contributo caro Paolo si limita a questo....

  36. Diego

    E voglio proprio vedere se la Tua proposta avrà un seguito......
    Chi vivrà vedrà.... Il tempo non mi manca di certo

  37. Diego

    Io caro Paolo esprimo ciò che mi pare con o senza la tua approvazione

  38. Diego

    Caro Enzo io non ho detto che Paolo sia o non sia in linea con il blog mi sembra che sei tu che travisi a tuo piacimento la mie parole solo che quando mi vogliono far passare per fesso sono capace di rispondere a tono e questo mio agire è in linea con la mia etica e con il mio modo di essere che vi piaccia o meno poco mi importa.

  39. Diego

    E ancora potrei andare avanti per ore se volete ma non mi sembra il caso e mi sembra di mancare di rispetto a chi cerca virtù e conoscenza quindi per ora mi fermo quì ma resto vigile :twisted:

  40. Diego

    Diamo più spazio ai dubbi di tutti e non a quelli dei soliti noti sono stato abbastanza chiaro??? :evil: GRRRR!!!

  41. ma che dici? Quando mai non ho cercato di rispondere ai dubbi di CHIUNQUE? Ma sei tu o uno che ne fa le veci? 8-O
    In caso positivo, mi faresti qualche esempio di dubbi non raccolti? Se così fosse cercherei subito di porvi rimedio... Non è certo il tuo caso, dato che tu non hai espresso dubbi, ma cercato di rispondere in modo personale (con un link) al dubbio di qualcun altro. Dubbio più che plausibile, oltretutto, dato che dipendeva solo da un mio errore...
    Più che ammetterlo, cosa vuoi che faccia? Harakiri???? :(

    Per quanto riguarda, invece, la ricerca di un nuovo tipo di insegnamento, la strada è ancora lunga, siamo solo all'inizio e chissà se ne avremo mai la forza. Io, da solo, certamente no e ci vorrebbe l'intervento di insegnanti che meglio conoscono le reazioni dei bambini. Uscire subito con una proposta, senza presentare niente non è un bel biglietto da visita. Come dici tu: una cosa è parlare e un'altra è fare...

    Spero di essermi chiarito al meglio e di sapere esattamente in cosa ho mancato nei tuoi riguardi e in cosa ha sbagliato Paolo. Cerchiamo di discutere con chiarezza e non con frasi buttate giù in preda a troppa agitazione. OK? :wink:

  42. Diego

    Ok ristabiliamo da qui un punto di ripartenza mi metterò a lavorare su questo progetto magari ti mando tramite mail i risultati.

  43. Caro Diego,
    ti ringrazio per il materiale. Ma, ciò che vorrei cercare di fare è qualcosa di più "innovativo" ancora, ossia cercare di introdurre fin da subito la MQ... Non ho altri scopi di tipo didattico... alla mia eta! 8-O

  44. Alexander

    Dai Enzo non sei un vecchietto, su col morale che a giudicare dalle scampagnate quando vai in vacanza e dalla lucidità di pensiero sei ancora in formissima! :wink:
    Ti chiameremo vecchietto solo tra 10 anni superati gli 80! :wink:

  45. Ringrazio Alexander (quando ero bambino io, un individuo di 70 anni era veramente un matusalemme... non mi sono ancora abituato del tutto all'allungamento della vita... speriamo, almeno!).

    Approfitto per chiarire la situazione che si è un po' ingarbugliata per una scarsa comprensione che vi è stata tra Diego e me (a parte il fatto che non sarebbe questo il post dove discuterne).

    La mia provocazione era quella di cercare di introdurre i concetti della meccanica quantistica nelle scuole dell'obbligo, in contemporaneità allo studio dell fisica classica. Non voleva assolutamente cercare metodi per spiegare l'Universo e i suoi attori basandosi sulle solite nozioni. Di questi approcci ce ne sono moltissimi e anche ben fatti, sicuramente migliori di quanto possa fare io.

    La mia idea era di introdurre l'onda di probabilità, il principio di Heisenberg, il pacchetto di Planck, il principio di esclusione, la definizione di stato e la loro sovrapposizione e, perché no?, anche il concetto di particella "entangled". Sono convinto che si possa fare, partendo proprio dalla definizione del microcosmo più semplificato. Non è un'impresa facile e ho fatto solo un esempio, aiutato da Paolo e da qualcun altro. E' solo una rozza bozza ( :mrgreen: ) che abbisogna del contributo essenziale degli insegnanti.

    Non voglio assolutamente scrivere un libro di testo di astrofisica per bambini... Ma cambiare il loro tipo di approccio. Poi tutto potrebbe proseguire come al solito, ma con il seme della MQ che ha possibilità di germogliare meglio proprio in cervelli ancora non intasati da nozioni classiche e "normali".

    Spero che adesso mi sia spiegato al meglio e invito quindi sia Diego che altri volenterosi di limitarsi a questo tipo di approccio... Solo dopo aver capito come fare, si potrebbe pensare di divulgare un tentativo che abbia una solida base operativa.

    Chiedo anche che i futuri commenti vadano a finire nel post relativo messo apposta IN EVIDENZA, senza intasare le serie di Taylor che sono già abbastanza ... lunghe :mrgreen:

    Do io il primo segno in tal senso e riporto questo commento anche in quella sede.

  46. Diego

    Non mi hai capito come al solito l'esempio era utilizzabile come packaging come riferimento estetico con i vari power point espositivi da prendere come esempio strutturale e non certo nei contenuti ma Enzo ci sei o ci fai???
    Vabbè l'età ti comprendo ok dai passo di la a commentare anzi ti aspetto.... :mrgreen: Facciamolo insieme e LAVORIAMO INSIEME :evil: povero me......

  47. calma, Diego... molta calma. Io ho cercato di essere gentile e comprensivo, ma tu non puoi permetterti di usare un tono che offensivo è dir poco. Adesso il troppo stroppia... chiaro?Io non ci sono e nemmeno ci faccio. Facciamo finta che hai solo scherzato e andiamo avanti. :-?
    Il riferimento estetico di cui parli (non l'ho poi visto così chiaramente) non serve a niente se non ci sono i concetti! E di quelli che ho bisogno. Ovviamente bisogna conoscere abbastanza bene la MQ... Anche se vecchio e rimbambito so ancora usare il web e cercare link a destra e a sinistra. Penso anche di saper utilizzare il power point più che bene (l'ho usato in decine e decine di presentazioni sia nelle scuole elementari sia negli istituti scientifici di tutto il mondo).
    Per lavorare insieme mi serve solo quello e non modelli di presentazione.

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:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

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