11/01/16

Il paradosso di Zenone, Newton e le serie ***

Richiamiamolo rapidamente. Achille e una tartaruga fanno una gara di velocità. Sotto certe condizioni Zenone dimostra (a parole) che Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga, anche se la sua velocità è 10 volte superiore a quella della tartaruga. L’importante è che la tartaruga parta per prima. Zenone dice che Achille deve muoversi solo quando la tartaruga ha raggiunto i cento metri. In un attimo Achille percorre i cento metri, ma, in quel frattempo, la tartaruga si è portata più avanti di 10 metri. La tartaruga resta prima. Per Achille è immediato colmare anche lo svantaggio di dieci metri, ma la tartaruga è comunque riuscita di andare avanti di un metro. Anche se ogni volta il vantaggio della tartaruga diminuisce, essa resta sempre davanti ad Achille, che non riesce a raggiungerla MAI.

Il ragionamento è, ovviamente, sbagliato. L’errore sta nell’assumere che la somma di infiniti intervalli di tempo diano un risultato uguale a infinito. Ciò sarebbe vero se gli intervalli fossero sempre uguali o crescenti, ma non nel caso in cui ognuno di essi è più piccolo del precedente. In questo caso, ogni intervallo successivo è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a quello precedente (ossia, è sempre più vicino allo zero) e la loro somma, anche se composta da infiniti termini, porta a un numero finito.

Lo possiamo risolvere perfettamente sia attraverso l’amico Newton sia attraverso un classico sviluppo in serie.

Consideriamo la legge oraria del moto di Achille, dove sA è lo spazio percorso e vA la velocità

sA = vAt

L’origine dei tempi si ha quando Achille inizia la sua corsa. Infatti per t = 0, sA = 0

Scriviamo, adesso, la legge oraria per la tartaruga:

sT = vTt + s0

Come voluto da Zenone, al momento della partenza di Achille (t = 0), la tartaruga si trova già nella posizione s0 (che avevamo scelto essere 100 m).

E’ facilissimo mettere in grafico la situazione, dove l’ascissa è il tempo e l’ordinata è lo spazio percorso. I moti dei due contendenti sono rappresentati da rette. Sappiamo benissimo che la velocità è il coefficiente angolare di queste rette, per cui quella della tartaruga è inclinata dieci volte di meno di quella di Achille.  L’intersezione delle due rette indica sia il tempo ttrascorso che lo spazio spercorso, nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga, come mostrato in Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

Graficamente, è un esercizio banale. Così come lo è anche attraverso la semplice relazione che si ottiene ponendo uguali i due spazi percorsi (al momento dell’incontro tI, sA e sT DEVONO essere uguali a un certo valore sI)

sA = sT = sI

vAtI =  vTtI + s0

Conoscendo le due velocità e lo spazio s0, si ha subito il valore di tI

tI = s0/(vA – vT)

E, immediatamente:

sI = vAtI = s0vA/(vA – vT)

Utilizziamo adesso quanto abbiamo imparato con le serie numeriche (N. 48 di approfondimenti di Matematica (cap. 39)). In particolare, andiamo a recuperare lo sviluppo in serie della funzione:

f(x) = 1/(1 – x)

Essa si scrive:

1/(1 – x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · = Σn=0 xn

E altro non è che la serie geometrica. Ricordiamoci che essa vale solo per -1< x < 1.

Torniamo ad Achille e alla tartaruga e ragioniamoci un po’ sopra.

Il tempo necessario ad Achille per percorrere il primo intervallo s0 (dove era già arrivata la tartaruga al tempo t = 0) è dato da:

t0 = s0/vA

In questo intervallo di tempo, però, la tartaruga ha proseguito di uno spazio s1, che può essere scritto come:

s1 = vT t0 = s0 vT /vA

A questo punto, Achille deve percorrere lo spazio s1 per cercare di raggiungere la tartaruga. Impiega un tempo t1, dato da:

t1 = s1/vA = s0 vT /vA2 = (s0/vA) vT/vA

Tuttavia, nel tempo t1, la tartaruga è già andata avanti di un ulteriore spazio s2, dato da:

s2 = vT t1 = s0 vT2 /vA2

Accidenti! Achille deve perciò tentare di raggiungere lo stesso punto e impiega un tempo t2, dato da:

t2 = s2/vA = s0 vT2 /vA3 = (s0/vA) vT2/vA2

La storia, ovviamente, si ripete, ma non è difficile scrivere il termine ennesimo:

tn = (s0/vA) vTn/vAn

Per trovare il tempo totale necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga, non resta che sommare tutti gli intervalli di tempo ricavati precedentemente per n sempre più grande, ossia eseguire la somma:

tI = t0 + t1 + t2 + … + tn + …

Possiamo tranquillamente fare andare n a infinito e scrivere:

tI = Σn=0 tn

Ossia:

tI = Σn=0 tn = Σn=0 (s0/vA) vTn/vAn = (s0/vA) Σn=0 (vT/vA)n

Ma questa non è altro che la serie geometrica che conosciamo molto bene (moltiplicata per una certa costante), in cui al posto di x è stato inserito vT/vA! Dato che -1 < vT/vA < 1, sappiamo benissimo quanto vale la sua somma:

1/(1 – x) = 1/(1 - vT/vA)

Benché la somma contenga un numero infinito di termini, il risultato è un numero finito.

In conclusione:

 tI = (s0/vA)/(1 - vT/vA) = s0 vA/vA(vA – vT) = s0/(vA – vT)

Esattamente lo stesso risultato trovato seguendo la legge del moto di Newton.

Povera tartaruga, non ha nessuno scampo e viene raggiunta malgrado la furbizia  di Zenone.

Ringrazio Massimiliano e Umberto che hanno stimolato questo articolo!

3 commenti

  1. umberto

    direi perfetto

  2. Massimiliano

    Grazie a te!

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