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9/04/16

Gli infiniti di Cantor. Parte terza: Gli insiemi numerabili.

Cardinalità di un insieme finito.

Affermiamo intanto che un insieme è finito se riusciamo a contare il numero dei suoi elementi. Tale numero è proprio la cardinalità dell'insieme. Nell'articolo sulle  corrispondenze, abbiamo visto come è possibile decidere in altro modo se due insiemi hanno lo stesso numero di elementi: basta che possano essere messi in corrispondenza biunivoca.

capitali-300x225
corrispondenza biunivoca fra nazioni e capitali

 

In questo esempio risulta chiaro che nazioni e capitali hanno lo stesso numero di elementi.

Cardinalità di un insieme infinito.

Nel caso di insiemi finiti, per decidere se hanno lo stesso numero di elementi ho dunque due possibilità:

1) contare il numeri rispettivi di elementi e vedere se sono uguali

2) vedere se possono essere messi in corrispondenza biunivoca.

Nel caso degli insiemi infiniti, non posso usare l'opzione 1), in quanto non so  cosa voglia dire contare gli elementi di un insieme infinito(conta e conta non finirei ma i di contare).

Nulla mi vieta di usare però la seconda opzione: (dovuta a Cantor nel 1878)

Due insiemi infiniti sono ugualmente numerosi se esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi.

Qui però pur sapendo che due insiemi sono ugualmente numerosi, non sappiamo quale sia la cardinalità di un insieme infinito. Possiamo provare a dare una prima risposta alla domanda di cosa sia il numero di elementi di un insieme A, che viene anche detto numero cardinale o cardinalità di A. Esso non è  altro che ciò che hanno in comune tutti gli insiemi ugualmente numerosi ad A, ossia che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con A. Tale cardinalità si indica con |A|.

L'Albergo di Hilbert.

Un prima caratteristica di un insieme infinito è che è possibile aggiungere un elemento all'insieme senza modificare la sua cardinalità. Vediamolo con un esempio dovuto ad Hilbert.

hilberts_hotel-300x155

 

L'albergo ha infinite stanze che sono numerate come i numeri naturali(0,1,2,3,...). L'albergo è pieno, quindi i clienti sono tanti come i numeri naturali. Arriva un nuovo cliente; cosa si può fare? Si sposta ogni cliente presente  nella camera successiva (quello della 0 nella 1,quello della 1 nella 2 e così via). Si mette il nuovo cliente nella camera 0 che si è liberata. Alla fine il numero dei clienti non è cambiato anche se ne ho aggiunto uno, in quanto è sempre uguale al numero delle camere. Se le camere fossero state in numero finito, non sarebbe stato possibile effettuare questa operazione; se si riflette sul concetto di infinito come a qualcosa di dinamico, non si entra in nessuna contraddizione.

Gli insiemi numerabili

Cominciamo con degli esempi. Consideriamo l'insieme dei numeri naturali N e  l'insieme dei numeri Pari P. La funzione che a un numero naturale n associa  2n è una corrispondenza biunivoca fra N e P.

0 1 2 3
0 2 4 6

per ogni numero pari c'è uno e un solo numero naturale che lo genera.

Ma i numeri pari sono strettamente contenuti nei numeri naturali.

pari-600x450

Gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza con i numeri naturali si dicono anche insiemi numerabili.

Anche l'insieme dei numeri dispari è numerabile; basta associare ad ogni numero naturale il numero 2 n +1

0 1 2
1 3 5

ma anche l'insieme dei numeri dispari è strettamente contenuto nei numeri naturali.

Possiamo concludere che:

La parte non sempre è minore del tutto.
L'affermazione di Euclide "il tutto è maggiore di una qualsiasi sua parte" non è valida nel caso di insiemi infiniti.  Anzi Dedekind prende da qui la sua definizione di insieme infinito:

 si dice che un insieme X è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca tra X ed un suo sottoinsieme proprio.

Richard_Dedekind_1900s
Julius Wilhelm Richard Dedekind

La cardinalità dell'insieme unione.

Dati due insiemi A ,B  sappiamo cos'è l' insieme C definito come unione di A con B:

C=A\bigcup B

prendendo semplicemente per C tutti  gli elementi che sono in  A o in B.

unione-600x450

Supponiamo che A e B siano numerabili e che A e B siano disgiunti  ovvero senza elementi in comune. Allora  A può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri dispari e B con i numeri pari, essendo entrambi numerabili. Ma i numeri pari più i numeri dispari danno tutti i numeri naturali;In tal modo abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra l'unione di A e B e N; quindi L'unione di due insiemi numerabili è numerabile. 

unione-numerabile1-300x225

Vediamo di spiegare meglio questo fatto. Se A può essere messo in corrispondenza biunivoca con D (numeri dispari) chiamiamo f tale corrispondenza (f: A-->D). Allo stesso modo se B può essere messo in corrispondenza biunivoca con P (numeri pari) chiamiamo g tale corrispondenza (g: B-->P). A e B sono disgiunti (questo è fondamentale). Costruiamo un corrispondenza e(x)  da A U B in N (pari più dispari) in tal modo:

e(x)=f(x) se x appartiene ad A

e(x)=g(x) se x appartiene a B

Essendo f,g biunivoche, anche e è biunivoca.

La cardinalità dell'insieme Z dei numeri relativi.

Perché abbiamo ricavato questo risultato? Vogliamo andare a vedere "quanti" elementi ha Z, insieme dei numeri relativi (che abbiamo visto nell'articolo sugli insiemi).  Pensiamo a Z come unione di due insiemi A,B

A={0,1,2,3,4,...}   B={-1,-2,-3,-4,...}

A non è altro che N ;

Indichiamo con  N+={1,2,3,4,...}  N privato dello zero, che è ancora numerabile, perché se associamo a n-->n+1 abbiamo una corrispondenza biunivoca fra N e N+ .

B può essere messo in corrispondenza biunivoca con N+  con la seguente funzione: -n . Allora abbiamo che Z è l'unione di due insiemi numerabili, quindi per quanto visto prima Z è numerabile.

Aleph 0 ( \aleph(0)) è il simbolo usato per indicare la cardinalità del numerabile.

Esso deriva dalla lettera dell'alfabeto ebraico aleph, che è la prima lettera dell'alfabeto.

Riassumendo:se indichiamo con |X| la cardinalità di un insieme infinito X,  con P l'insieme dei numeri pari, D l'insieme dei numeri dispari, abbiamo che :

|N|= |P| =|D|=|Z|=(  \aleph(0)). Quindi gli insiemi che abbiamo trattato finora hanno tutti lo stesso ordine di infinito.

La prossima volta ci occuperemo della cardinalità di un altro insieme numerico famoso: Q (insieme dei numeri razionali)

Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica

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