Mag 13

Il paradosso dell'albero 1/2. Parte prima: cos'è un albero? **

Ormai stiamo spaziando da un argomento all'altro della matematica, anche  con piccoli concetti che, pur essendo intuitivi, forse non hanno mai avuto nella nostra esperienza matematica una precisa collocazione. Chiariamo bene prima il concetto di albero, per affrontare poi un simpatico paradosso che può essere denominato come la versione geometrica dell ultra famoso  paradosso di […]

Mar 17

I grafi completi **

Continuiamo con questi mini-articoli  non troppo impegnativi ma che servono anche per  distrarci un pò. Proseguiamo verso le teorie di Ramsey  con piccoli passi. Passeremo anche attraverso un altro quiz. La matematica discreta è un pò come la teoria degli insiemi; è astratta ma è semplice e affascinante, ed inoltre non richiede prerequisiti matematici profondi […]

Mar 15

Il principio della colombaia **

Vorrei cambiare un po' metodo di stesura degli articoli, e farne tanti di piccole dimensioni , su cose semplici, ma che magari sfuggono alla conoscenza della maggior parte dei lettori. Non mi sono dimenticato della serie su Poincarè, ma l'articolo che sto preparando sulla connessione fra metrica e curvatura è impegnativo, e richiede molto tempo. Introduco questo […]

Feb 8

LA SFERA DI POINCARÉ 6)Le varietà Riemmane .***

Un articolo un po' più tecnico dei precedenti, che purtroppo presuppone la conoscenza delle derivate. Tuttavia ciò ci permetterà di sfatare definizioni e formalismi tipici della geometria differenziale, quali i tensori metrici e gli elementi di linea infinitesimi. Ricordiamoci che il nostro scopo è quello di capire come vivere all'interno di una varietà dove di euclideo resta ben poco. In ogni caso, però, tramite il piano tangente possiamo ridurci sempre ad esso.

Dic 22

LA SFERA DI POINCARÉ 5) Introduzione alle varietà Riemmane .***

Se vogliamo addentrarci correttamente alla comprensione delle varietà Riemmane, abbiamo bisogno di qualche concetto riguardante argomenti di matematica avanzata, che di solito di studiano nei primi due anni di università . Chiaramente non è nei nostri scopi né nelle nostre possibilità approfondire tali argomenti. Provo perciò a presentarli in modo pratico-intuitivo, sfruttando anche il lavoro fatto da Vincenzo e da Fabrizio. Parleremo di matrici e del loro prodotto, di derivate parziali e equazioni parametriche, nonché di prodotti scalari. Spero che questo sia sufficiente per comprendere uno dei concetti più belli e potenti della matematica che è alla base delle teorie relativistiche e della cosmologia: le varietà Riemmane.

Dic 1

Come un paradosso diventò un teorema 2/2 ***

Questo articolo è la continuazione della miniserie riguardante i paradossi insiemistici, che trovate nell'archivio di matematica. Nel primo articolo abbiamo visto come la costruzione assiomatica di Zermelo-Fraenkel permette di eliminare il paradosso di Russel, e anche quello dell'insieme universale (esistenza dell'insieme di tutte le cose). Lascia però degli interrogativi; se l' "insieme" di Russel e l' "insieme universale" non sono insiemi, allora cosa sono?

Nov 26

LA SFERA DI POINCARÉ 4): Le varietà differenziabili ***

Purtroppo la congettura di Poincarè non è risolvibile con gli strumenti topologici, che sono qualitativi. Abbiamo bisogno di strumenti quantitativi, per risolvere tale congettura. Perciò introduciamo in questo articolo e nel prossimo un breve riassunto sui concetti più importanti della geometria differenziale; le varietà differenziali e quelle dotate di metrica.

Ott 20

LA SFERA DI POINCARÉ 3). Le trivarietà.

Nella serie "MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS", abbiamo visto come generare delle varietà bidimensionali in modo astratto. Riprendiamo in modo meno formale tale procedimento,estendendolo allo studio delle tri-varietà,ossia le varietà di dimensione tre,che non sono rappresentabili nello spazio tridimensionale.

Set 22

Come un paradosso diventò un teorema 1/2 ***

Nel 1901 Un lord Inglese,filosofo e matematico,Bertrand Russel, mise in crisi il tentativo di Frege di definire le basi della matematica partendo dalla logica pura, con un paradosso arcinoto a tutti. Tale paradosso era dovuto al fatto che la teoria "ingenua" ovvero intuitiva degli insiemi non era ben fondata. Questo destò grande preoccupazione nel mondo della matematica; se gli insiemi sono alla base della matematica e sono non consistenti, allora tutta la matematica potrebbe essere non consistente, ovvero contraddittoria, e si temette anche per la teoria di Cantor. Ma vediamo perchè successe tutto ciò.Nella realtà attuale, con assiomi consistenti, il paradosso di Russel diventò un teorema.

Ago 11

La sfera di Poincaré. 2) : L'enunciato della congettura. ***

Nato nel 1854, Poincaré fu l’ultimo genio mondiale di cognizioni scientifiche universali, non frenato da alcuna barriera disciplinare, forte d’una erudizione scientifica portentosa. Formulò quello che è stato il il quinto problema del Millennio, la congettura che porta il suo nome. Per non parlare del grosso contributo dato allo studio della relatività ristretta.

Lug 12

La sfera di Poincaré. 1) : Le omotopie e la semplice connessione.***

Eccoci dunque alla prima puntata della serie dedicata alla congettura di Poincaré. Per capire bene l'enunciato della congettura è necessario conoscere il concetto di "semplice connessione". Procederemo in modo intuitivo, aiutandoci con disegni e ragionamenti abbastanza pratici. Non tutti gli enunciati saranno dimostrati formalmente. D'altro canto, quanto fatto nella prima serie topologica dovrebbe essere sufficiente per comprendere a fondo questo articolo.

Mar 21

Matematizziamo il nastro di Möbius ,parte 10°:la sfera .***

Ci sono più modi per costruire una sfera con la topologia quoziente. Il più semplice consiste però nel fare il quoziente di un disco. Fino adesso abbiamo fatto quozienti di quadrati e rettangoli, ma nulla ci vieta di farlo di altri sottospazi topologici. Consideriamo dunque un disco e i punti appartenenti agli estremi di una […]