07/10/21

Un premio Nobel italiano, la dinamica complessa e l'arte della matematica **

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio dedicata a Matematica e Geometria

 

Un premio Nobel più che giusto quello di Giorgio Parisi e fa un po' ridere che non molto tempo fa un virologo o immunologo o infettivologo, fate un po' voi, che è sempre presente in TV, lo abbia accusato, in modo più o meno trasparente, di non sapere leggere e interpretare i dati. Penso che oggi tale illustre personaggio televisivo avrebbe voluto mordersi la lingua, anche perché proprio i dati sono fondamentali per gli studi eseguiti da Parisi e che gli hanno valso il Nobel.

Non è facile spiegare il tipo di ricerca eseguita dal nostro fisico e si leggono a riguardo solo frasi fatte e volutamente incomprensibili. In poche parole lui si è sempre occupato dello studio dei sistemi dinamici complessi, analizzando e descrivendo quelli relativi al microcosmo (dinamica quantistica) e quelli relativi al macrocosmo, tra cui anche il clima e le strane figure eseguite dagli stormi di uccelli. Studi sempre al confine tra complessità e caos, fondamentali per l'interpretazione dei fenomeni naturali di qualsiasi portata. In modo non dissimile da Feynman anche Parisi ha una vita notturna non puramente consona a un serioso scienziato: Feynamn andava suonare il bongo in locali anche poco raccomandabili, mentre Parisi è amante sfrenato della danza e, in particolare, di quella greca.

Tra l'altro Parisi, diventato improvvisamente (ma sicuramente per poco) una "star", fino ad ora ignorata, ha auspicato con forza che la ricerca italiana abbia più fondi e la smetta di essere la cenerentola europea a questo riguardo. In un popolo che sta cadendo sempre più verso l'ignoranza più becera e cattiva, vi è una continua fuga delle menti migliori che sono costrette a specializzarsi all'estero dato che in Italia non vi sono possibilità di inserimento nel mondo del lavoro scientifico. Pensate che verrà ascoltato?  Dubito profondamente... Ma torniamo ai sistemi complessi, approfittando del Nobel.

Ci riferiamo a un insieme estremamente peculiare, che fa parte del mondo dei frattali, l'insieme di Mandelbrot, scienziato polacco naturalizzato francese, che fu il primo a renderli popolari anche tra il grande pubblico nel 1975. L'insieme che prende il suo nome è stato considerato "l'oggetto più complesso esistente in matematica". Se pensiamo che i frattali mostrano una ripetizione continua dal macro fino al micro, non ci sembra del tutto fuori luogo un accostamento al lavoro di Giorgio Parisi.

Tuttavia, lo scopo di questo articolo è quello di mostrare come un fenomeno tipico della fisica e in particolare della meccanica sia riconducibile a un sistema estremamente complesso, ma anche a una costruzione decisamente semplice che unisce matematica e geometria in una vera e propria opera d'arte. Ebbene sì, l'arida e monotona matematica è capace di creare capolavori artistici di una semplicità disarmante.

In poche parole vogliamo parlare di una curva molto suggestiva, la cardioide, chiamata così proprio perché richiama la forma di un cuore. Essa nasce da curve già trattate in questo Circolo, la cicloide e le epicicloidi. Ricordiamo che la cicloide, curva dalle mille proprietà, nasce descrivendo il moto di un punto fisso P di una circonferenza che rotola senza strisciare su una retta. Se, poi, invece che sulla retta, la facciamo rotolare su un'altra circonferenza otteniamo le epicicloidi. Un caso particolare si ha quando la circonferenza che rotola lo fa proprio attorno a una circonferenza che abbia il suo stesso raggio, dando luogo alla cardioide.

Figura 1

Ancora più bella è la rappresentazione di Fig. 2, estratta da Wikipedia, che si ottiene mostrando effettivamente una circonferenza che rotola attorno ad un'altra, di pari raggio, e sempre fissa.

Figura 2

Cardioide, solo una curva fra tante? Non proprio. Guardate come si presenta l'insieme di Mandelbrot in Fig. 3...

Figura 3

La parte destra è esattamente contenuta in una cardioide. Ciò che era solo un risultato meccanico nasconde un'essenza puramente matematica, estremamente complessa. Ma è veramente così difficile ottenere una cardioide mischiando la matematica e la geometria più semplice? Direi proprio di no.

Consideriamo una circonferenza e dividiamola in n intervalli uguali, indicando con 1,..,n i limiti degli intervalli. In poche parole grafiche, ciò che mostra la Fig. 4 per n = 10.

Figura 4

Finito il primo giro continuiamo a indicarli con numeri crescenti, ossia 1 diventa 11, 2 diventa 12, e via dicendo. Facciamo lo stesso per il terzo giro, ecc., ecc.

A questo punto iniziamo la nostra costruzione. Uniamo i singoli punti, presi in ordine crescente, con il numero che nasce dal suo prodotto per 2. Cominciamo da 1.

1 x 2 = 2

Uniamo 1 con 2.

2 x 2 = 4

Uniamo 2 con 4.

3 x 2 = 6

Uniamo 3 con 6.

4 x 2 = 8

Uniamo 4  con 8.

5 x 2 = 10

Uniamo 5 con 10.

6  x 2 = 12 che corrisponde a 2

Uniamo 6 con 2

7 x 2 = 14 che corrisponde a 4

Uniamo 7 con 4

8 x 2 = 16 che corrisponde a 6

Uniamo 8 con 6

9 x 2 = 18 che corrisponde a 8 e, quindi si rifà percorso già effettuato. Infatti:

10 x 2 = 20    (il punto rimane fermo)

11 x 2  = 22   (1 con 2)

12 x 2 = 24 (2 con 4)

Ovviamente, d'ora in poi, le linee ricadono su quelle del primo giro. In altre parole, finito il primo giro, niente cambia e ci si può fermare.

Proviamo, adesso, a dividere la circonferenza in 11 intervalli uguali (Fig. 5).

Figura 5

Ancora niente di interessante... Ma proviamo con un numero più alto di intervalli in Fig. 6

Figura 6

 

Fantastico, è apparsa la nostra cardioide!

Vi sono altri metodi geometrici per costruire una cardioide, ma questo è quello che preferisco per la sua semplicità e per la sua facilità ad essere generalizzato... Infatti, se invece di moltiplicare per due moltiplichiamo per tre, otteniamo, in Fig. 7, una nefroide (il suo nome deriva dalla forma simile a un rene).

Figura 7

La stessa figura che nasce facendo ruotare una circonferenza attorno ad un'altra di raggio doppio. E così via, aumentando i numeri di petali e la complessità della figura. La successiva (Fig. 8) ha 3 "petali" e corrisponde ovviamente a una circonferenza più piccola che ruota attorno a quella centrale fissa.

Fig. 8

Prendendo qualche altro esempio non possiamo che concludere che una semplice moltiplicazione e parecchi punti su una circonferenza, equidistanti tra loro, creano delle vere e proprie opere d'arte, come quella ottenuta con un passo uguale a 34 (Fig. 9  ).

Figura 9

Ma si può fare di più. Prendiamo pure un numero fisso di intervalli, ma cambiamo dopo ogni giro il numero da moltiplicare (il passo), incrementandolo di 0.1 (2.0, 2.1, 2..2, ..., 3., ...). Uniamo poi tra loro le figure ottenute per ogni passo e vedremo come in un film la nostra cardioide che evolve  in una nefroide (per il passo uguale a 3) e poi in una curva a "tre petali" e poi a 4 e via dicendo. Una fantastica variazione di forme e di armonia.

Qualcosa che non è poi tanto diverso da ciò che ha ottenuto il nostro Arturo Lorenzo unendo tra loro le posizioni, a intervalli regolari, di Terra e Venere. In pratica, è come se variassimo continuamente il passo (Venere va più veloce della Terra). Infatti, nella sua animazione, vediamo come la cardioide sembra formarsi ma poi evolve in una nefroide e via dicendo. La risonanza 8/13 gioca poi nel permettere il completamento di certe figure. Un sistema già abbastanza complesso nella sua semplicità.

Ovviamente si può fare di tutto e di più, facendo variare sia il numero di intervalli sia il passo. Diamo solo un esempio di figure ottenibili, notando anche quante sottostrutture appaiono. Proprio per evidenziare il loro valore "artistico", confrontiamole con delle vere opere d'arte umane, come i rosoni di S. Pietro di Tuscania, quello della cattedrale di Chartres e quello di S. Maria di Collemaggio a L'Aquila (Fig. 10).

Figura 10

La figura non penso abbia bisogno di commenti...

Matematica, meccanica celeste, geometria... ma non vi è niente di più concreto? Sì, state tranquilli... molti marchingegni sono legati alla forma della cardioide. Un esempio, forse il più conosciuto, è il microfono a cardioide (quello preferito dai cantanti) in cui il suono proveniente da una direzione viene distribuito tutt'attorno seguendo la forma della cardioide, in cui il massimo si ha nella direzione del pubblico, poi l'intensità scende andando verso i lati, per diventare nulla nella direzione del cantante.

Quanto ci sarebbe ancora da dire e da approfondire su una semplice curva, amata dalla matematica, espressa dalla geometria e legata a fenomeni fisici.  Mi fermo qui, per adesso almeno. Evitiamo di approfondire la problematica con formule e con sviluppi sempre più complessi, che facilmente ci farebbero cadere verso una specie di caos, anche se più o meno controllato. Pensiamo, ad esempio, se, un giorno, potessimo rappresentare il clima, sintetizzando il tutto su una singola curva o un insieme matematico, per complesso che sia. Chissà... In fondo, è quello a cui aspira il nostro Parisi.

Questo articolo, però, vuole essere solo un piccolo e molto particolare omaggio a un grande cervello italiano, salito improvvisamente agli onori della cronaca, ma che altrettanto velocemente tornerà nell'ombra e dovrà continuare a lottare per assicurarsi fondi per la ricerca, per tenersi stretti gli allievi migliori, ma che non ci riuscirà e li vedrà fuggire verso Istituti europei (e non solo), capaci di valutare e di trattenere molto meglio di noi le menti ancora pensanti. Una lotta questa che, nel mio piccolissimo, conosco molto bene!

Grazie Giorgio

6 commenti

  1. Mario Fiori

    Le meraviglie checostruisce la M;atematica sono strepitose caro Enzo. E qualcuno parla di materia arida. Parisi, visto solo in foto ovviamente, guardandolo solamente negli occhi , e senza avere sentito niente in merito (lo sento per la prima volta  da te come accostamento ) , ti giuro mi ha fatto subito venire in mente Feynman: non so' il perchè e la cosa mi sconvolge . L'accostamento agli altri due Nobel e agli studi sul clima che ne vorrebbero fare i media  a modo loro mi sconvolgono anch'essi di pari passo. Ma invece diciamo in coro .Grande Parisi.

  2. Alberto Salvagno

    Incipit di un articolo scritto dal neo-nobel per la fisica, Giorgio Parisi, per la rivista Le Scienze del 4 settembre 2018:

    «La scienza è come il sesso, ha anche delle conseguenze pratiche, ma non è questo il motivo per cui la facciamo», diceva Richard Feynman, uno dei più grandi fisici del secolo scorso e forse il più simpatico.

    Eccetera

  3. Grazie Albertone! Una frase niente male...

  4. M. Gabriella Galante

    “… non è questo il motivo per cui la facciamo”
    Ecco perché Feynman  è oltre la genialità:

    è stato un mago.

    Questo è quello che vorrei sentire sempre:

    non condivido che si debba convincere della

    “ bontà “ della Matematica pubblicizzandola con … “ S E R V E  a …” Senza Matematica … Non avremmo … “

    La Matematica è un Arte … non deve SERVIRE come un attrezzo!

    Un mio docente di Fisica al Dipartimento di Matematica ci sfotteva dicendo che:

    “Per fare un Tesla ci vogliono 10 mila Gauss”

    Sono con Godfrey J. Hardy :

    per la Matematica inutile e contro i

    Grandi  Sederi  e con i fisici che studiano le Stelle … e non le usano. Un saluto

     

  5. non capisco cosa c'entri con l'articolo, caro Francesco... Ricavare il raggio, conoscendo il volume, è cosa da elementari. Mi dirai mica che è un "calcolo complesso"...

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