Feb 8

LA SFERA DI POINCARÉ 6)Le varietà Riemmane .***

Gli altri articoli di questa serie (LA SFERA DI POINCARÉ) , li trovate nel'archivio--> Matematica e geometria-->Matematiche pure

Riassunto della puntata precedente.

Nell'ultimo articolo abbiamo introdotto due concetti importanti; la base di uno spazio di vettori e il prodotto scalare. Mettiamoci in  R^{3} dove possiamo rappresentare un vettore tramite  coordinate. La base non è altro che un insieme minimo di vettori che può generare con le sue combinazioni lineari tutto lo spazio vettoriale  in questione. Abbiamo poi introdotto la metrica, e quello che viene "spaventosamente" chiamato  tensore metrico. Non dimentichiamoci poi delle curve e della definizione di vettore velocità.

Superfici in R^{3}

Ma torniamo alle nostre varietà differenziabili; in ogni punto alla varietà sappiamo che esiste un piano tangente, chiamiamolo T_{p}S. Il nostro obiettivo  ora è   trovare una base  per T_{p}S, che sarà legata alle equazioni parametriche che definiscono la superficie.

TPS

Esiste un  sistema semplice per trovare una base  per TpS; se  nel piano u,v fissiamo una coordinata, diciamo u0 e facciamo variare l'altra (internamente chiaramente al nostro aperto dove è definita la superficie) otteniamo una retta parallela all'asse v (analogamente se fissiamo v0 e facciamo variare u otteniamo una retta parallela all'asse u). Ora, la retta u=u0 avrà come immagine una curva in R^{3}, che sarà contenuta nella superficie S , essendo l'intervallo considerato contenuto in V.

Cattura

Le immagini dei punti della curva,che si possono ottenere tramite la funzione \alpha, dipendono da un solo parametro v e si possono quindi esprimere con P(u_{0},v));  (ricordiamo che parametri=1 vuol dire varietà di dimensione 1, ovvero una curva). Per trovare il vettore tangente alla curva, facciamo la derivata rispetto al  parametro v; Essendo P(u_{0},v))=f(u_{0},v)\cdot \mathbf{i}+ g(u_{0},v)\cdot \mathbf{j}+h(u_{0},v)\cdot \mathbf{k} , questa espressione costituisce una curva parametrica con parametro vil  vettore tangente alla curva lo troviamo subito derivando rispetto a v:

\frac{dP(u_{0},v))}{dv}=\frac{df(u_{0},v)}{dv}\cdot \mathbf{i}+ \frac{dg(u_{0},v)}{dv}\cdot \mathbf{j}+\frac{dh(u_{0},v)}{dv}\cdot \mathbf{k} (nel disegno indichiamo sinteticamente tale vettore con dP/du).

Lo stesso dicasi per la linea coordinata u. Per semplificare le notazioni chiameremo questi  due vettori semplicemente \frac{dP}{du},\frac{dP}{dv}; essi  costituiscono una base* per TpS, che dipende dal punto di tangenza considerato.

(*: questo in teoria andrebbe giustificato più a fondo , ma per una volta credetemi sulla parola)

Continuiamo adesso con il nostro prodotto scalare, che sappiamo generare una metrica; restringiamo il prodotto scalare tridimensionale su R^{3} a Tps e vediamo cosa salta fuori. Prendiamo due vettori p,q che stanno su TpS, che quindi saranno vettori ottenibili tramite combinazioni lineari dei vettori \frac{dP}{du},\frac{dP}{dv}; che costituiscono una base per il piano tangente.

p^{\rightarrow }=a\frac{dP}{du}+b\frac{dP}{dv}

q^{\rightarrow }=\alpha \frac{dP}{du}+\beta \frac{dP}{dv}

(a,b,\alpha ,\beta sono le coordinate dei vettori p,q)

Calcoliamo il prodotto scalare dei due vettori;

p^{\rightarrow }\cdot q^{\rightarrow }=a\alpha \frac{dP}{du}\frac{dP}{du}+ (a\beta +b\alpha) \frac{dP}{dU} \frac{dP}{dv}+b\beta \frac{dP}{dv}\frac{dP}{dv}

che si rifà ai prodotti scalari dei vettori della base; chiamiamo E,F,G tali prodotti:

E=\frac{dP}{du}\cdot \frac{dP}{du}

F=\frac{dP}{du}\cdot \frac{dP}{dv}

G=\frac{dP}{dv}\cdot \frac{dP}{dv}

che sono ovviamente dei numeri  dipendenti dal punto P. Ritornando ancora al prodotto scalare, che è anche esprimibile in forma matriciale,analogamente a quanto visto nel precedente articolo, per fare il prodotto scalare in TpS di due vettori qualsiasi, o per calcolarne la norma (il modulo), possiamo usare i prodotti scalari E,F,G usati sulla base. Il prodotto scalare è quindi rappresentato dalla matrice:

M=\begin{pmatrix} E & F\\ F & G \end{pmatrix} detta anche tensore metrico,  mentre E,F,G sono i coefficienti della metrica. Notiamo che F=\frac{dP}{du}\cdot \frac{dP}{dv} è il prodotto scalare dei due vettori della base. Sappiamo, nel caso euclideo (M=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}), che F è nullo essendo i  vettori della base ortogonali.  Potendo essere F non nullo, si dice che F è la misura della non ortogonalità della base.

A differenza del caso euclideo, dove dato il piano la matrice M risulta costante , lo stesso non può dirsi per TpS, dove varia da punto a punto della superficie. Come prima applicazione,ci proponiamo, tramite il tensore M, di calcolare la distanza di due punti sulla superficie.

Versione “infinitesima” della metrica

Leggendo un articolo di geometria differenziale o di relatività, ci si imbatte  una pagina si e una no in scritture del tipo:

dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

oppure:

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}

di solito questo, dopo pochi minuti, comporta per i non addetti ai lavori l'abbandono della lettura e la tendenza ad occuparsi di altro. Questo accade perché nessuno si prende mai la briga di dare una spiegazione  anche solo sommaria di tale formalismo. Scritture di questo tipo sono poco intuitive, se non viste in un contesto tipo quello di questo articolo. Se vogliamo misurare una distanza che non sia quella fra due punti in R^{2} o in R^{3} dove basta il teorema di Pitagora, ma sia lo spazio percorso per raggiungere  due punti su una traiettoria curvilinea, per risolvere il problema ci troviamo davanti ad una versione infinitesima della distanza.

Dato un vettore w appartenente a TpS, consideriamo una curva \alpha (t)=\varphi (u(t),v(t)) passante per P e tangente a w

curvasusuperfixie1 (1)

w=\frac{du}{dt}\varphi _{u} + \frac{dv}{dt}\varphi _{v}v=\frac{du}{dt}\frac{dP}{du} + \frac{dv}{dt}\frac{dP}{dv}

ricordando che :

E=\frac{dP}{du}\cdot \frac{dP}{du}

F=\frac{dP}{du}\cdot \frac{dP}{dv}

G=\frac{dP}{dv}\cdot \frac{dP}{dv}

otteniamo \left \| w \right \|^{2}=E(\frac{du}{dt})^{2}+2F(\frac{du}{dt})(\frac{dv}{dt})+G(\frac{dv}{dt})^{2}ds^{2}=\left \| w \right \|^{2}dt^{2}ds^{2}=\left \| w \right \|^{2}dt^{2}

se chiamiamo ds^{2} la lunghezza dell'arco infinitesimo, ds^{2}=\left \| v \right \|^{2}dt^{2}, otteniamo:

ds^{2}=E(du)^{2}+ 2Fdudv+ G (dv)^{2}   1)

Questo elemento ds è detto  anche elemento di linea.  Ma veniamo al dunque; se vogliamo calcolare la distanza fra due punti A e B su una varietà differenziabile, dobbiamo tenere conto che non possiamo uscire da tale varietà, che è il nostro mondo. La distanza fra due punti "vicinissimi" la conosciamo, è quella definita dalla 1). Prendiamo quindi un percorso che unisca A e B e sommiamo tutti questi pezzettini infinitesimi (che corrisponde analiticamente a calcolare un  integrale). Ma che percorso prendiamo? Quello che dà la minima lunghezza. Tale percorso prende anche il nome di geodetica. Ma non anticipiamo troppo i tempi..parleremo di questa definizione più volte nel seguito. Indichiamo comunque  tale lunghezza in questo modo:

L=\int_{\alpha }ds.

Che si legge: integrale dell'elemento ds lungo la curva \alpha.

L'importanza della  metrica è enorme; la relatività generale  ne fa ampio uso, e accenneremo come le equazioni di Einstein nel vuoto (che derivano dai principi relativistici) abbiano come incognita proprio la metrica.  Una delle  soluzioni (sotto particolari condizioni)è proprio quella di  Schwarzschild, di cui si è ampiamente parlato in questo sito. In pratica, tutto parte da qui, per quanto riguarda la comprensione  della forma dell'universo  in cui viviamo.

 

Gli altri articoli di questa serie:

0) Un progetto ambizioso

  1. LE OMOTOPIE E LA SEMPLICE CONNESSIONE
  2. L'ENUNCIATO DELLA CONGETTURA.
  3. Le TRI-Varietà topologiche
  4. Le varietà differenziabili
  5. le varietà Riemmane-Introduzione

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