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27/03/16

Le matematiche pure: la teoria degli insiemi infiniti di Cantor ***/****

Qui troverete una serie di articoli  dedicata ad uno degli argomenti più affascinanti delle matematiche pure: la teoria degli insiemi infiniti, dovuta principalmente a Georg Cantor. Sarà un percorso lungo, e all'inizio forse noioso. Parleremo di insiemi, corrispondenze, relazioni  di equivalenza in modo semplice ed intuitivo, fino ad arrivare a dimostrare che gli insiemi infiniti non sono tutti ugualmente numerosi, ma esisto vari livelli (ordini) di infinito. Gli articoli sono alla portata di tutti (o quasi); ho cercato di usare  il minimo formalismo . La trattazione introduttiva è minima, ed è quella che serve per arrivare al risultato finale. Non è mia presunzione tenere delle lezioni di matematica pura, ma solo divulgare un argomento forse poco noto, che chi vuole potrà approfondire.

L'obiettivo è anche quello di rendere più simpatica la tanto odiata matematica che a volte ci è stata propinata come un ammasso informe di tecniche di calcolo senza alcun riferimento storico-culturale.  In realtà la matematica è fantasia e intuizione . Il percorso che porta a un risultato non è mai lineare: ci sono intuizioni, errori, aggiustamenti, risultati intermedi. Vedremo cosa si inventa Cantor per dimostrare che i numeri razionali (le frazioni) sono tanti quanti i numeri naturali (0,1,2,3,4,5,...), fra l'altro restando sorpreso egli stesso del risultato.

Ringrazio l'infinito teatro del cosmo che ha accettato la proposta di inserire le matematiche pure  negli argomenti  dandomi inoltre la possibilità di esprimermi.

Umberto Cibien

La teoria degli insiemi infiniti di Cantor.

  1. Parte prima: Gli insiemi
  2. Parte seconda:corrispondenze e funzioni
  3. Parte terza:gli insiemi numerabili
  4. Parte quarta:l'albergo di Cantor
  5. Parte quinta:l'induzione matematica
  6. Parte sesta: il minimo ordine di infinito aleph zero
  7. Parte settima: le diagonali di Cantor
  8. Parte ottava:l'insieme delle parti e il teorema di Cantor
  9. Parte nona:la continuità dei numeri reali
  10. Parte decima:conseguenze della continuità di R
  11. Parte undicesima:la potenza del continuo.
  12. Parte dodicesima: il teorema di Bernstein
  13. Parte tredicesima: la polvere di Cantor
  14. Parte quattordicesima;la cardinalità di R e dell'insieme delle parti
  15. Parte quindicesima:l'assioma della scelta
  16. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 1/3
  17. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 2/3
  18. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 3/3
  19. Parte diciassettesima: Il teorema di Zermelo
  20. Parte diciottesima:la curva di Peano-Hilbert
  21. Parte diciannovesima: l'insieme di Vitali

Altri articoli collegati agli infiniti di Cantor

  1. La scala del Diavolo
  2. CANTOR E I NUMERI TRASCENDENTI. PARTE PRIMA.
  3. CANTOR E I NUMERI TRASCENDENTI. PARTE SECONDA.

Le matematiche pure; vari argomenti.

  1.  Parte prima:relazioni e classi di equivalenza
  2. Parte seconda:la definizione di numero cardinale
  3. Parte terza: I gruppi della matematica moderna
  4. Parte quarta:altri esempi di gruppi
  5. Parte quinta: I gruppi liberi 1/2
  6. Parte quinta: I gruppi liberi 2/2
  7. Parte sesta:i campi algebrici
  8. Parte settima: Il campo dei numeri complessi 1/2
  9. Parte settima: Il campo dei numeri complessi 2/2
  10. Parte ottava: i punti impropri della geometria proiettiva
  11. Parte nona: il gruppo delle curve ellittiche 1/2
  12. Parte nona: il gruppo delle curve ellittiche 2/2

Quesiti di vario tipo, con soluzione.

Un problema esponenziale

Un binomio un po strano

 

Paradossi e applicazioni.

Il campo Zp: una applicazione al DLP ovvero il problema del logaritmo discreto

Il paradosso di Borel :parte prima

Il paradosso di Borel :parte seconda

PUÒ IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ AVER SCONGIURATO UNA GUERRA NUCLEARE? PARTE 1°

PUÒ IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ AVER SCONGIURATO UNA GUERRA NUCLEARE? PARTE 2°

COME UN PARADOSSO DIVENTÒ UN TEOREMA 1/2

Introduzione alla topologia

Un esempio Topologico: Nove Ponti a Venezia

  1. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 1°: GLI SPAZI METRICI
  2. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 2°:Gli spazi topologici
  3. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 3°: GLI OMEOMORFISMI
  4. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 4°:SPAZI CONNESSI
  5. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 5°:COMPONENTI CONNESSE
  6. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 6°:LA TOPOLOGIA QUOZIENTE
  7. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 7°:UN TEOREMA NECESSARIO
  8. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 8°: IL CILINDRO E IL NASTRO
  9. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 9°: IL TORO .
  10. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 10°LA SFERA
  11. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 11°:LA SUPERFICIE DI KLEIN .
  12. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 12°IL PIANO PROIETTIVO

 

Intermezzi:

superfici e varietà topologiche

I compatti dello spazio Euclideo

Le funzioni quoziente

 

LA SFERA DI POINCARE'

0) Un progetto ambizioso

  1. LE OMOTOPIE E LA SEMPLICE CONNESSIONE
  2. L'ENUNCIATO DELLA CONGETTURA.
  3. LE TRI-VARIETA'

 

TEORIA DEI NUMERI

Il numero di Nepero è irrazionale

IL NUMERO DI NEPERO È TRASCENDENTE. PARTE PRIMA

IL NUMERO DI NEPERO È TRASCENDENTE. PARTE SECONDA

IL NUMERO DI NEPERO È TRASCENDENTE. PARTE TERZA

IL NUMERO DI NEPERO È TRASCENDENTE. PARTE QUARTA

IL NUMERO DI NEPERO È TRASCENDENTE. PARTE QUINTA

 

 

 

10 commenti

  1. grazie Umberto,

    avremo molto da imparare con gli insiemi e ci faranno capire ancora meglio i concetti di funzione e di corrispondenza tra oggetti. Un naturale compendio alla RR...

  2. Daniela

    Sai, Umberto, ho avuto la fortuna di frequentare una scuola elementare in cui si insegnava la matematica proprio a partire dal concetto di insieme. Ricordo ancora le mie prime somme e sottrazioni effettuate non con i numeri ma con delle tabelle nelle quali si disegnavano degli oggetti rappresentativi dei numeri. Era la metà degli anni '70 e, ai tempi, questo approccio a livelli così bassi era decisamente fuori dal comune. Ti dico solo che in prima media l'insegnante, perplessa per il tipo di preparazione mia e degli altri compagni che provenivano dalla stessa scuola, ci sottopose a varie verifiche, prima di convincersi che tale metodo non ci aveva "danneggiato". Poi, nel prosieguo del mio percorso di studi, ho incontrato più volte l'approccio insiemistico e ne ho compreso l'importanza.

    Grazie per ciò che scriverai, non vedo l'ora di leggerlo!

     

     

  3. Alexander

    Grazie e buona pasqua a tutti! :)

  4. umberto

    Grazie a voi; si Daniela, penso si possa farne anche una versione Papallicola

  5. supermagoalex

    Grazie Umberto!  :-D

    Colgo l'occasione per ugurare buona Pasqua a tutti gli amici circolari ed alle rispettive famiglie!

     

  6. peppe

    Grande Umberto    :-D

  7. givi

    Scrivo anche qui lo stesso commento:

    Bene così, avanti con Cantor

  8. Paolo

    Non sono così fortunato come Dany, per me questa è una parte della matematica che ignoro... quindi un grazie anticipato per la trattazione. :-P

    Paolo

  9. Umberto

    Niente paura; spero sia interessante per te.

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