21/05/17

Matematiche pure 9: Il gruppo delle curve ellittiche, parte prima.

Riprendiamo il discorso sulle curve ellittiche; nell' articolo precedente (qui), abbiamo trovato il punto all'infinito di una curva ellittica di equazione generica: y^{2}=x^{3}+ax+b; esso coincide con il punto all'infinito dell'asse delle y; questo ci fa capire che la curva all'infinito è tangente all'asse delle y. Adesso volevo evidenziare meglio il fatto che la curva ellittica non è una funzione ma un luogo geometrico di punti. Una funzione infatti per ogni valore della x ha un solo valore dell y; si vede anche dal grafico che nel caso delle curve ellittiche ciò non è vero sempre.

curve ellittiche.

L'operazione che abbiamo definito  sui punti della curva , che dati due punti trova il risultato S3 come indicato nel disegno, è  valida sia nel caso che la retta passi per due punti distinti, oppure sia verticale (il punto diventa il punto improprio \Theta o punto all'infinito). Nel quiz sulle curve ellittiche (qui) abbiamo fatto in dettaglio i calcoli nel caso x1<>x2 per trovare il terzo punto S3; Nel caso la retta per P1,P2 sia verticale sappiamo che il punto è \Theta; ci manca da trovare il punto nel caso P1=P2 e y1=y2, ovvero quando la retta è tangente alla curva. Ma procediamo per gradi.

Le funzioni implicite.

Le curve ellittiche sono un esempio di funzioni definite implicitamente . Ma per capirlo meglio, cominciamo da un caso più semplice; una circonferenza con centro nell'origine e di raggio unitario.

curve ellittiche.

Come tutti sappiamo, tale circonferenza ha equazione x^{2}+y^{2}=1. Ma guardiamo adesso la cosa da un punto di vista diverso; consideriamo la funzione di due variabili:

F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1; tale funzione è definita su tutto R x R--->R. Consideriamo adesso solo i valori per cui F(x,y)=0; Tali valori definiscono proprio la circonferenza di sopra. Infatti:

F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0; cioè  x^{2}+y^{2}=1. Cosa vuol dire questo discorso? Che data una funzione di due variabili,i punti in cui la funzione si annulla definiscono un luogo geometrico, che può essere o meno una curva.

Ci chiediamo se, almeno localmente, tutte le soluzioni dell’equazione F(x, y) = 0 si possono rappresentare tramite una funzione della sola x oppure tramite una funzione della sola y, ovvero se esiste una funzione f tale che F(x, f(x)) = 0 o esiste una funzione g tale che F(g(y), y) = 0. Torniamo alla nostra circonferenza, e consideriamo il punto P(0,1) che vi appartiene, e che quindi è soluzione dell'equazione F(x,y)=0

curve ellittiche.

Possiamo, attorno al punto, possiamo rappresentare localmente le soluzioni tramite i punti del tipo (x,\sqrt{1-x^{2}}), quindi in questo caso f sarà proprio f(x)=\sqrt{1-x^{2}}. Possiamo dire dunque che F(x,y) definisce in modo implicito una funzione f(x) .  Questo naturalmente accade sotto determinate condizioni; nel caso sopra sappiamo che nell'intervallo (a,b) y è sempre positiva, quindi per risolvere l'equazione y^{2}=1-x^{2} possiamo prendere solo la radice positiva, e ottenere proprio y=f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.

Trovare la derivata di una funzione definita implicitamente

Supponiamo adesso di dover trovare la tangente alla circonferenza in un punto P; supponiamo :

\large P=(\sqrt{2},\sqrt{2}).

curve ellittiche.

Ci sono più metodi per trovare il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto, ma questo probabilmente non lo avete mai visto. Sappiamo che sulla circonferenza:

  1. \large y^{2}=1-x^{2}  ; quello che noi dobbiamo trovare è il rapporto \large \frac{dy}{dx}; deriviamo rispetto a x ambo i termini della 1.   :

\large 2y\cdot \frac{dy}{dx}=-2x; Il termine di sinistra è la derivata della funzione composta  \large y^{2}.

Ricordiamo che la derivata di una funzione composta è data da:

f(g(x))'=f'(g(x))* g'(x)

quindi \large \large \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}; \large \large \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}; quindi se \large x=y=\sqrt{2} come nel nostro caso, tale derivata o coefficiente  angolare vale -1. Questo metodo è un po' brutale, ma evita di dovere parlare del Teorema del Dini sulle funzioni implicite la cui dimostrazione è fuori portata. E' da notare poi che questa espressione (\large \large \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}) non ci dà una funzione esplicitata, ma solo un metodo di calcolo per trovare la derivata di una funzione definita implicitamente in un punto.

Calcolo della tangente ad una curva ellittica

Torniamo adesso alle nostre ellittiche; Per la definizione di somma resta fuori il caso in  cui P1=P2,ovvero la retta è tangente. Escludiamo per adesso il caso in cui  tale tangente sia parallela all'asse delle y, ovvero sia verticale. Possiamo allora applicare lo stesso metodo che abbiamo applicato alla circonferenza.

 

 

 

curve ellittiche.
Nel caso i due punti coincidano, la retta da cercare per prima è quella tangente alla curva in P1=P2. Il passo successivo sarà quello di trovare P3, poi S3.

\large y^{2}=x^{3}+ax+b; derivando ambo i membri rispetto a x:

\large 2y\frac{dy}{dx}=3x^{2}+a; supponiamo che y<>0; abbiamo allora.

 

\large \large \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+a}{2y}: se vogliamo adesso il coefficiente angolare della retta in P1, basta che sostituiamo le sue coordinate:

\large \large \large m=\frac{3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}.  e abbiamo finito.

 

Se y1=0, la retta tangente è verticale; in tal caso si definisce in questo caso  P1+P1=\large \Theta.

curve ellittiche.
Nel caso la retta sia verticale, come abbiamo visto nel'articolo sui punti impropri l'intersezione con la curva è all'infinito.

 

La tangente interseca infatti la curva in \large \Theta; se da lì tracciamo la retta per \large \Theta e \large \Theta otteniamo ancora \large \Theta.

Ci chiediamo ora una cosa; questa tangente esiste sempre? La sua espressione è(coefficiente angolare):

\large \large \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+a}{2y}: se y=0 abbiamo visto che la tangente è parallela all'asse delle y. Ma allora in quale caso perde di significato? Bè, quando si annullano contemporaneamente numeratore e denominatore.

Quindi y=0, 3x^{2}+a=0. ma se y=0, allora anche \large y^{2}=x^{3}+ax+b=0

\left\{\begin{matrix} x^{3}+ax+b=0\\ 3x^{2}+a=0 \end{matrix}\right.

moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per x:

\left\{\begin{matrix} 3x^{3}+3ax+3b=0\\ 3x^{3}+ax=0 \end{matrix}\right.

sottraendo membro a membro otteniamo:

2ax+3b=0; x=-\frac{3b}{2a}

sostituiamo adesso il valore di x nella 3x^{2}+a=0 ottenendo:

\frac{27b^{2}}{4a^{2}}+a=0; quindi

1) 27b^{2}+4a^{3}=0

I punti in cui succede questo si dicono singolari e le curve per cui vale la 1) sono dette anch'esse singolari. Questa espressione è anche detta discriminante della curva ellittica.

Esempi di curve singolari.

y^{2}=x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2); nel punto 1 ha una radice doppia e la curva ha una singolarità;

infatti \Delta =27b^{2}+4a^{3}=27\cdot 4-4\cdot 3^{3}=0x=\frac{-3b}{2a}=\frac{-6}{-6}=1

 

nodo

 

Una curva di questo tipo è detta nodo.

y^{2}=x^{3};  In questo caso la radice doppia è in zero, anzi è addirittura tripla.

cuspide

Una curva di questo tipo si dice cuspide.

Per avere un gruppo, ovvero  affinchè sia sempre possibile trovare P+Q, la curva deve quindi soddisfare la condizione

\Delta =27b^{2}+4a^{3}\neq 0.

Nel prossimo articolo faremo un riassunto tutto quello che è stato fatto sulle curve ellittiche, e arriveremo a dimostrare che con l'operazione di somma descritta ogni curva  forma un gruppo.

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