10/03/19

Matematizziamo il nastro di Möbius ,parte 9°: Il toro .***

Adesso che stiamo prendendo mano con la topologia quoziente, cominciamo a costruire superfici un po' più complicate. Fino ad ora abbiamo incollato solo due dei quattro lati del quadrato, ottenendo delle figure "aperte". Vogliamo provare ad incollarli a due a due.Iniziamo  a costruire un toro, che avete visto molto bene negli articoli di Arturo. Partiamo sempre dalla nostra striscia,anche questa volta quadrata , X=[0,2\pi] \times [0,2\pi]

Lo schema della costruzione è questo:

toro1

Dapprima incolliamo i due lati a, nello stesso verso, poi i due lati b, sempre nello stesso verso. Con la prima operazione otteniamo un cilindro, con due bordi circolari; se piegandolo incolliamo i due bordi (pensate a un tubo di gomma), otteniamo proprio il nostro salvagente (Toro).

ttttttttttttttttt

 

Questo nella pratica; ma noi dobbiamo trovare  una relazione d'equivalenza che identifichi i lati b,b e i lati a,a.

Consideriamo la relazione sul quadrato X=[0,2\pi] \times [0,2\pi]  in cui le equivalenze non banali sono(\theta ,0)\sim(\theta ,2\pi)  e (0,\phi)\sim(2\pi,\phi). Al solito, tutti i punti interni al quadrato sono equivalenti solo a se stessi.

equivalenceFINALE

Il toro che abbiamo costruito in modo astratto, lo chiamiamo "toro topologico", ed è il quoziente del quadrato rispetto alla relazione di equivalenza sopra descritta. Ma è proprio il toro che conosciamo? Dobbiamo dimostrare che X/\sim è omeomorfo al toro immerso nella spazio.

Ci serve perciò l'equazione parametrica del Toro nello spazio, e la recuperiamo direttamente sempre dall'articolo  di Arturo, dove trovate anche la dimostrazione:

R>r

x_{P}=x_{K}+\overline{KH}cos\theta =Rcos\theta +rcos\varphi cos\theta

y_{P}=y_{K}+\overline{KH}sen\theta =Rsen\theta +rcos\varphi sen\theta

z_{P}=rsen\varphi

 

Per chi vuol approfondire ,senza cambiare pagina, inserisco qui sotto la dimostrazione di Arturo:

 

Costruiamo l'omemorfismo.

Chiamiamo f  l'equazione parametrica appena vista.Quello che vogliamo dimostrare ora, è che esiste un omeomorfismo  g: X/\sim\rightarrow Z

dove Z è l'immagine di X tramite f (Z=f(X)). Verifichiamo la proprietà :

p \sim q \Rightarrow f(p)=f(q)

f:(\theta, \phi) ---> ((R + r\cdot cos \phi) cos \theta, (R + r\cdot cos \phi) sen \theta, r\cdot sen \phi)

1 se (\theta,0)\sim(\theta,2\pi) ,

f(θ,0)=( (R+r)cosθ,(R+r)senθ,0),

f(θ,2\pi)=( (R+r)cosθ,(R+r)senθ,0)

per cui f(θ,0)=f(θ,2\pi)

2 se (0,\phi)\sim(2\pi,\phi)

f(0,φ)=((R+rcosφ),0,rsenφ)

f(2\pi,φ)=((R+rcosφ),0,rsenφ)

per cui f(0,φ)=f(2\pi,φ).

Quindi possiamo porre g([p])=f(p) essendo g ben definita, ovvero indipendente dal rappresentante della classe.

dia

è continua, quindi per la proprietà fondamentale del quoziente anche g è continua.

Torniamo adesso all'equazione parametrica di f. f non è iniettiva. Consideriamo un particolare  del disegno tratto dallo studio della parametrica di Arturo.

toroarturo

Abbiamo  due parametri \theta , \phi che variano fra [0,2\pi] . Sia \theta arbitrario ma fissato, ma interno all'intervallo, ossia \theta <>0, \theta<>2\pi. In corrispondenza avremo una circonferenza di raggio r. I punti di tale circonferenza al variare di  \phi  fra [0,2\pi] descrivono punti P della superficie del toro. Tali punti hanno valori univoci di \phi, ad eccezione del punto che si ottiene per \phi=0 in quanto tale punto si ottiene anche per \phi=2\pi.  Al variare di \theta, tali punti altro non sono  che la saldatura che forma il cilindro, ed hanno coordinate (\theta,0),(\theta,2\pi). Per \theta=0 la circonferenza di raggio r viene a sovrapporsi con la circonferenza sempre di raggio r ma corrispondente a \theta=2\pi. In questo caso, al variare di \phi tutti questi punti hanno la doppia rappresentazione (0,\phi),(2\pi,\phi), Essi rappresentano la saldatura dei due bordi  del cilindro. Notiamo allora che i punti dove la f non è iniettiva altro non sono che i punti delle equivalenze non banali descritte sopra.

g invece è  iniettiva. Infatti g viene applicata alle classi di equivalenza di X. Se f viene applicata ad un punto interno del quadrato, f assume lo stesso valore solo in quel punto, che è equivalente solo a se stesso. Se invece applichiamo f ai punti dei segmenti che delimitano il quadrato, sappiamo che f assume lo stesso valore in (\theta,0),(\theta,2\pi) e in  (0,\phi), (2\pi,\phi). f non è iniettiva in questi segmenti, ma sappiamo anche che i punti in essi sono equivalenti, quindi appartengono alla stessa classe. Essendo g([p])=f(p) questo significa che g è iniettiva.

Possiamo allora applicare il nostro teorema necessario:

Sia g : X -->Y un’applicazione continua e biunivoca. Se Y  è compatto e Z è di Hausdorff allora g è un omeomorfismo.

g è continua e biunivoca. E' definita su Y che è un compatto, essendo immagine del compatto [0,2\pi] x [2\pi] tramite \dpi{120} \fn_cm \pi.

Z (il toro) è di Hausdorff, essendo un sottospazio di \dpi{120} \fn_cm R^{3}, immagine di X (f(X)). Quindi g è un omemomorfismo.

Il toro costruito con la topologia è quindi omeomorfo al toro immerso nello spazio, costruito in altro modo, ovvero come superficie di rotazione.

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