Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica

Nell'articolo precedente, abbiamo realizzato un primo esempio di Spazio quoziente. Chi vuole riprendere il discorso da lì,può visualizzare l'esempio. Chi invece non lo ritenga necessario, può andare avanti direttamente.

Una definizione alternativa di continuità.

La definizione di continuità che abbiamo dato qui ,  era la seguente:

Una funzione f: X-->Y fra  due spazi topologici è  continua  se per ogni aperto A di Y,   è un aperto di X.

alternativamente, invece di usare gli aperti, si possono usare gli insiemi chiusi:

Una funzione f: X-->Y fra  due spazi topologici è  continua  se per ogni chiuso C di Y,   è un chiuso di X.

Per dimostrare questa affermazione, basta notare questa proprietà delle controimmagini, puramente a livello insiemistico:

Se T è un sottoinsieme di X, f  una funzione qualsiasi di f:X--->Y, allora vale la seguente eguaglianza:

 . Ricordo che se T è un  sottoinsieme di Y, il complementare è Y\T.

Infatti, se vale tale eguaglianza, se C è un insieme chiuso, allora Y\C è aperto; Quindi  è aperto, ma allora , anche  è aperto, di conseguenza  è chiuso. Analogamente si può dimostrare il viceversa.

Definizione di funzione aperta (o chiusa)

Una funzione f : X → Y tra spazi topologici si dice aperta se per ogni aperto A ⊆ X, f(A) ⊆ Y `e aperto.

Una funzione f : X → Y si dice chiusa se per ogni chiuso C ⊂ X, f(C) `e chiuso in Y .

Le funzioni inverse; proprietà.

Per chi non ha ben chiaro il concetto di funzione inversa, e in particolare il fatto che  qualsiasi sia x, richiamo alcune proprietà. Chi vuole può fare a meno di leggere tale proprietà, e continuare tranquillamente la lettura.

Ricordo che l'inversa di una funzione, che si può definire solo se la funzione è biettiva, è quella funzione che composta con la funzione di partenza dà la funzione identità. Si richiede cioè che valga la seguente proprietà:

  dove Ix è la funzione identità che va da Ix: X--->X.

Dobbiamo cioè risolvere il seguente problema: dato un elemento y in Y, trovare un x in X la cui immagine sia y. Se la funzione è biettiva, come mostra il disegno, questo è sempre possibile; l'elemento esiste perchè la funzione è suriettiva, ed è anche unico perchè è biettiva. (se non fosse unico non potremmo definire una funzione). In altre parole:

Se f è biettiva, l'unico elemento di X tale che y=f(x) è x, essendo appunto f suriettiva e iniettiva. Posso dunque definire la funzione inversa di f, che chiamo ;  Rifacciamo il disegno, mettendo Y a sinistra, in quanto ho una funzione di Y--->X :

che ne sarà dell'inversa di , che indico con  ? Tale inversa è semplicemente f.

quindi, per ogni ,  

Un altra definizione di omeomorfismo.

In questo articolo, abbiamo dato la definizione di omeomorfismo:

" Una funzione f: X--->Y fra spazi topologici è un omeomorfismo se f è continua, biettiva e la sua inversa  : Y → X è  anch'essa continua."

Una definizione equivalente è questa:

Una funzione f : X → Y tra due spazi topologici è un omeomorfismo se e solo se f è continua,biettiva e aperta (oppure chiusa).

In pratica, sotto queste condizioni, dobbiamo dimostrare  che anche   è continua. Sappiamo  che qualsiasi sia , ;

Supponiamo   f aperta; quindi per ogni sottoinsieme A ⊆ X aperto, si ha che:

Quindi `e continua se e solo se f  è aperta,ovvero  se l'immagine di ogni aperto tramite f  è un aperto.

Supponiamo f chiusa, e consideriamo un chiuso :

.

Quindi `e continua se e solo se f  è chiusa,ovvero  se l'immagine di ogni aperto tramite f  è un aperto.

Spazi compatti.

Richiamo la definizione di spazio compatto, che abbiamo dato qui:

"... dato uno spazio topologico S,per dire se S è compatto dobbiamo verificare , per ogni una famiglia di aperti Ui tale che la loro unione dia S,  se questo  riusciamo a realizzarlo con un numero finito di questi aperti. Dunque uno spazio topologico è compatto se ammette un sottoricoprimento finito, per ogni ricoprimento aperto." Sempre nelle stesso articolo, è spiegato per esteso cos'è un ricoprimento. Vedremo ora due importanti teoremi sugli spazi compatti.

a) Un sottoinsieme chiuso C di uno spazio compatto X è uno spazio compatto (con la topologia indotta).

Sia U = un ricoprimento aperto di C; poichè C ha la topologia indotta, , con Vi aperto di X.
(dove  è il complementare di C che quindi è aperto essendo il complementare di un chiuso)  è un ricoprimento aperto di X; poichè X è compatto è possibile estrarre un sottoricoprimento finito ; allora è un sottoricoprimento finito di U.

b) Sia f : X--->Y un’applicazione continua, e sia X uno spazio compatto. Allora f(X) è uno spazio compatto.

Sia  un ricoprimento aperto di f(X); essendo f continua  è un ricoprimento aperto di X.  Ma X è uno spazio compatto, quindi ammette un sottoricoprimento finito, 

Ma allora  è un sottoricoprimento finito di V; infatti preso un y qualsiasi in f(X), esiste un  tale che y=f(x). X è tutto  ricoperto dagli Uj, quindi  per qualche k.  Di conseguenza . Quindi anche f(X) è compatto.

c) (Compatto di Hausdorff) Un sottoinsieme compatto K di uno spazio di Hausdorff  X è un sottoinsieme chiuso.

Abbiamo di recente definito gli spazi di Hausdorff; 

Uno spazio topologico S è detto di Hausdorff se per ogni coppia x, y di elementi distinti di S esistono un intorno di x e un intorno di y disgiunti. In tal caso lo spazio si dice separato.

Ma veniamo alla dimostrazione; per dimostrare che K è chiuso basta dimostrare che il suo complementare in X, , è aperto.

Consideriamo un punto x qualsiasi,  .  Se riusciamo a trovare un aperto che lo contiene, allora x è un punto interno a , quindi essendo x qualsiasi,  è aperto. K è compatto; esiste allora un ricoprimento di Vy aperti . Per ciascun Vy, visto che x è distinto da ogni punto y di K,, ci sarà un corrispondente Uy che contiene x , ma disgiunto da Vy. Essendo k compatto, ammette un sottoricoprimento finito. Sia V1,V2,...Vn un tale ricoprimento. Siano U1,U2,..Un degli aperti corrispondenti; tutti contengono x. Pertanto  è un aperto e contiene x, ed è anche disgiunto da K, ovvero . Pertanto x è interno a , che quindi è aperto, e K che è il complementare è chiuso.

Eccoci arrivati al nostro teorema:

Sia f : X -->Y un’applicazione continua e biunivoca. Se X  è compatto e Y è di Hausdorff allora è un omeomorfismo.

Per dimostrarlo, sfruttiamo  i risultati precedenti.

Riportiamo quanto detto sopra riguardo agli omemorfismi:

Una funzione f : X → Y tra due spazi topologici è un omeomorfismo se e solo se f è continua,biettiva e aperta (oppure chiusa).

Ci basta quindi dimostrare che f è chiusa. Sia C un chiuso di X;

a) C è chiuso in X compatto, quindi C è compatto.

b) L'applicazione f è continua, quindi f(C) è compatto in Y.

c) Poichè Y  è di Hausdorf, f(C) è chiuso.

bene, abbiamo già  finito.