Lug 25

Cantor e i numeri trascendenti. Parte seconda.

Riprendo in sintesi quanto fatto nella prima parte dell'articolo. Si definiscono numeri trascendenti quei numeri  reali che non sono algebrici, ovvero non sono soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi. Cantor riusci a dimostrare che i numeri trascendenti sono infiniti, anzi  sono più che numerabili.

irrazionalitrascendentali

Infatti se chiamiamo A l'insieme dei numeri algebrici e T l'insieme dei numeri trascendenti, T=R\A. Abbiamo visto che A è numerabile. Di sicuro T non può essere numerabile o finito, perchè altrimenti R=T U A sarebbe unione di due insiemi numerabili e pertanto sarebbe numerabile. Quindi T è infinito ed ha cardinalità maggiore di N. Non possiamo però dire subito che T ha la cardinalità di R , escludendo cardinalità x comprese fra il numerabile e il continuo, ovvero |N|<x<|R|. (questo dilemma è noto come Ipotesi del continuo).

Dobbiamo perciò dimostrarlo. Facciamolo in modo generico, staccandoci dal nostro caso particolare.

Prima una osservazione. Consideriamo un insieme A infinito. Vogliamo dimostrare che contiene un insieme numerabile. Se procediamo formalmente, dovremmo creare una funzione ricorsiva che però non  so se piaccia a tanti. Possiamo dimostrarlo in modo più intuitivo.

Vogliamo trovare una funzione iniettiva di f: N--->A. Se A è infinito, senz'altro non è vuoto.   Scelgo allora un elemento di A che chiamo f(0). f(0) è quindi l'immagine di 0. Poi scelgo un elemento f(1) diverso da f(0) , e che diventa l'immagine di 1. Continuo così; f(n) altro non è che un elemento di A diverso da tutti i precedenti, ovvero appartenente  a A\{f(0),f(1),...f(n-1)}. Posso fare queste infinite associazioni perchè A è infinito, quindi riesco sempre a trovare un elemento che sia diverso da tutti quelli scelti in precedenza.  Quindi l'applicazione così costruita è iniettiva, ed è anche biunivoca su f(N). Quindi l'insieme f(N) è l'insieme cercato, ovvero un insieme numerabile sottoinsieme di A.

Adesso sia X un insieme infinito, Y un insieme numerabile (nel nostro caso X=R, ma ormai che ci siamo vogliamo dimostrare una cosa generica). Dimostriamo che |X\Y |=|X|, ovvero che la cardinalità di X\Y è uguale a quella di X.

c1
notare che Y  e Y'  sono insiemi disgiunti;Y' è infatti sottoinsieme del complementare di Y

Per quello che abbiamo visto sopra, essendo X\Y infinito, esiste un sottoinsieme di X\Y che chiamiamo Y', che è numerabile. Y' è disgiunto da Y.Se Y' è numerabile, esiste allora una funzione biunivoca f fra f: Y'--->Y'  U  Y; infatti anche Y'  U  Y è numerabile, essendo unione di insiemi numerabili.

Per dimostrare che |X\Y |=|X|, dobbiamo trovare una funzione biunivoca g che va da g:X\Y--->X.

c1
la funzione g deve andare dalla parte Blu (X\Y) più la parte viola (Y') su tutto X.

La definiamo così:(g è definita su Y' U (X -(Y U Y'))=X\Y)

g(x)=f(x)  se    x \in Y'  ; sappiamo che f(x) copre Y'  U  Y, inoltre è iniettiva

g(x)= x se  x \in X-(Y \cup Y'); la funzione x (identità) copre tuttoX-(Y \cup Y') ed è iniettiva

ma allora Y'  U  Y U  X-(Y \cup Y')=X, quindi g è suriettiva su X, ed è inoltre iniettiva. Quindi è una biezione,

g:X\Y--->X

I numeri trascendenti hanno la stessa potenza del continuo.

Nel nostro caso, X è l'insieme R dei reali. Y è invece A, insieme dei numeri algebrici. X\Y rappresenta per noi R\A=T, insieme dei numeri trascendenti. Quindi l'insieme dei numeri trascendenti ha la stessa potenza del continuo. All'interno dei reali, ci sono dunque più numeri trascendenti che altro.

 

 

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.