25/06/18

Cantor e i numeri trascendenti. Parte prima.

Consideriamo l'insieme  dei numeri reali. Tutti hanno le idee chiare sulla differenza fra numeri razionali e irrazionali. Meno evidente è invece il discorso dei numeri trascendenti. Come si definiscono quest'ultimi? I numeri trascendenti sono numeri che non sono algebrici. Ma chi sono i numeri algebrici? Sono i numeri che si ottengono come risultato di una equazione polinomiale, tipo ad esempio ax^{2}+bx+c=0 a coefficienti interi.  In generale come radici di un polinomio a_{n}x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+.....a_{0} in cui i coefficienti an,an-a,...a0 sono tutti interi. Notare che la definizione di numero algebrico ingloba i numeri razionali, in quanto , per esempio q=a/b è soluzione dell'equazione di primo grado bx=a.

Attorno al 1850 Joseph Liouville (1809-1882) diede la prima dimostrazione della trascendenza di particolari numeri reali.

Per quanto riguarda i numeri reali che conosciamo meglio bisogna aspettare ancora qualche anno: nel 1873 Charles Hermite  dimostra che il numero e è trascendente, mentre la trascendenza di \piè stata dimostrata da Ferdinand von Lindemann  nel 1882.

Come si inserisce Cantor in questo contesto? Se Liouville si dannò tanto per scoprire che esisteva almeno un numero reale trascendente, Cantor nel 1891 basandosi sui suoi infiniti dimostrò addirittura che i numeri trascendenti sono tanti quanti i reali stessi, ovvero l'insieme dei reali e l'insieme dei trascendenti hanno la stessa cardinalità, quella del continuo. In pratica, abbiamo a che fare più che altro con numeri trascendenti .

Passiamo ora a dimostrare quanto asserito; mi servirò dei risultati che potete trovare in questo tag nell 'archivio: Cantor. Io intanto li riassumo qui di seguito.

i) Gli insiemi Z e Q sono numerabili. Potete trovare qui un articolo introduttivo sugli insiemi numerabili, e qui la dimostrazione della numerabilità di Q

ii) Il prodotto cartesiano Z^{n}=Z x Z x Z....x Z  è numerabile.

Questo risultato non è stato visto; ci siamo limitati a dimostrare che: 1) Z x Z è numerabile, quando abbiamo parlato della numerabilità di Q. Ma ci viene in aiuto il principio di induzione: la proposizione è vera per n=1 banalmente. Supponiamo adesso che Z^{n} sia numerabile: scriviamoZ^{n+1}=Z^{n-1}\times (Z\times Z ) ; sappiamo per 1) che Z x Z è in corrispondenza biunivoca con Z,  quindi anche

Z^{n-1} \times (Z \times Z)  sarà in corrispondenza biunivoca con Z^{n-1} \times Z=Z^{n}, quindi  Z^{n+1} sarà in corrispondenza biunivoca con Z^{n} che è numerabile per ipotesi induttiva.

iii) se abbiamo una famiglia di insiemi Ai, finiti o numerabili, allora anche  \bigcup_{i\in I} A_{i} è un insieme finito o numerabile

La dimostrazione di questo fatto, l'abbiamo vista nell' articolo sull'assioma della scelta, la riporto qui comunque :

Abbiamo visto che l'unione di due insiemi numerabili è numerabile. Usando il principio di induzione, si può dimostrare che l'unione finita di insiemi numerabili è numerabile( per n=2 A_{1} \bigcup A_{2}  è vera, supposta vera per n ,A_{1} \bigcup A_{2}..\bigcup A_{n} è allora numerabile, basta allora scrivere (A_{1} \bigcup A_{2}..\bigcup A_{n})\bigcup A_{n+1}  e ho ancora l'unione di due insiemi numerabili) ; e se abbiamo una unione numerabile (quindi infinita) di insiemi numerabili?

L'unione di una famiglia numerabile  di insiemi numerabili \begin{Bmatrix} A_{n}:n \in N \end{Bmatrix} è numerabile.

Essendo ogni An numerabile, esiste una corrispondenza biunivoca gn: N-->An  per ogni n:  \begin{Bmatrix} g_{n}:n \in N \end{Bmatrix} . Consideriamo adesso l'insieme N x N e costruiamo un funzione f:N \times N \rightarrow \bigcup_{n} A_{n} ponendo f(n,m)=g_{n}(m) ; f è suriettiva.Infatti se  a\in \bigcup_{n} A_{n}, allora a\in A_{n} per qualche n; quindi (essendo g_{n}suriettiva) esiste m tale che g_{n}(m)=a

Essendo f suriettiva,per quanto visto sopra,  esiste una funzione iniettiva  g:\bigcup_{n} A_{n}\rightarrow N \times N , quindi |\bigcup_{n} A_{n}|\leq |N \times N|=\aleph_{0}  essendo N x N numerabile; ma allora \bigcup_{n} A_{n} è numerabile, essendo \aleph_{0} il minimo ordine di infinito.

Siamo adesso pronti per dimostrare che:

Il sottoinsieme dei numeri algebrici è numerabile.

Consideriamo il polinomi  di grado k e a coefficienti in Z:

a_{k}x^{k}+a_{k-1} x^{k-1}+.....a_{0}

qualsiasi sia k. Per ogni k+1-upla, presa in Z^{k+1},(ak,ak-1,....a1,a0) abbiamo un polinomio.

Noi dobbiamo considerare tutti i polinomi possibili. In realtà , per aver un polinomio di grado k, nella k+1-upla dobbiamo avere k<>0.  Avremmo allora, per ogni k, un sottoinsieme infinito di Z^{k+1},  che comunque, essendo Z^{k+1} numerabile è anch'esso numerabile. Quindi l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti interi è dato dall'unione di tutti i polinomi di grado k; chiamiamoli Pk; se facciamo l'unione con k \in N li otteniamo tutti. Quindi avremmo, se chiamiamo P l'insieme di tutti questi polinomi:

P=\bigcup_{k \in N} P^{k}. Se applichiamo adesso la iii), otteniamo che P è un insieme numerabile. Se adesso trasformiamo i polinomi in equazioni, ponendoli uguali a zero, abbiamo che l'insieme delle equazioni polinomiali a coefficienti in Z è numerabile.

Chiamiamo E0, E1,...Ek la successione di tali insiemi. Per ogni Ei, associamo ad esso l'insieme delle soluzioni, Si, che è un certo insieme finito. Abbiamo allora ancora che tutte le possibili soluzioni, ovvero i numeri algebrici, sono dati da:

S=\bigcup_{k \in N} S^{k} che sempre per iii) costituisce un insieme numerabile. Dunque Il sottoinsieme dei numeri algebrici è numerabile.  Se adesso chiamiamo A l'insieme dei numeri algebrici e T l'insieme dei numeri trascendenti, T=R\A. Di sicuro T non può essere numerabile o finito, perchè altrimenti R=T U A sarebbe unione di due insiemi numerabili e pertanto sarebbe numerabile. Quindi T è infinito ed ha cardinalità maggiore di N. Nella seconda parte di questo articolo vedremo che T ha addirittura la stessa cardinalità di R.

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