8/10/16

Cantor, parte 17°: Il teorema di Zermelo (o del buon ordinamento)

Adesso che abbiamo a disposizione il lemma di Zorn, siamo in grado di dimostrare  Il  teorema di Zermelo (o del buon ordinamento)

Ogni insieme X è ben ordinabile, ovvero è possibile trovare per X un ordinamento che sia totale, e per cui ogni sottoinsieme Y di X abbia minimo.

Per dare un buon ordine, è necessario dare un insieme e un ordine fra i suoi elementi. Se B è un sottoinsieme di X, indichiamo con  la coppia (\bg_white B,\leq _{B}) un certo buon ordine. Consideriamo adesso l'insieme di tutti questi buon ordini, e chiamiamolo \bg_white BO; dunque

\bg_white \bg_white \bg_white \bg_white \bg_white BO=\begin{Bmatrix} (B,\leq _{B})): B\subseteq X,(B,\leq _{B}) :buonordine\\ \end{Bmatrix}; in pratica costruiamo un nuovo insieme, \bg_white BO , i cui elementi sono dei buoni ordini. Ci vuole un certo sforzo di astrazione  per comprendere ciò. L'insieme \bg_white BO non è vuoto: infatti se consideriamo dei sottoinsiemi B finiti di X, essi sono ben ordinabili (1)(vedi nota in fondo alla pagina).

Stabiliamo adesso su \bg_white BO un ordine in tal modo; diremo che \bg_white ( B,\leq _{B})\preceq ( B',\leq _{B' }) se B è un segmento iniziale di B';questo equivale a richiedere tre cose:

i)\bg_white B\subseteq B'

ii)la relazione \bg_white \leq _{B'} ristretta a B coincida con \bg_white \bg_white \leq _{B}

iii)se x \bg_white \leq _{B'} b con b appartenente a B, allora anche x appartiene a B (non basta essere sottoinsiemi per essere segmenti iniziali, ci vuole una condizione in più).

zermelo1

La relazione \bg_white \preceq è una relazione d'ordine (parziale) su \bg_white BO.

Semplifichiamo un po' le notazioni; indichiamo con  \bg_white A_{<} la coppia (A,\bg_white <_{A}), \bg_white \bg_white B_{<} la coppia (B,\bg_white <_{B}), \bg_white \bg_white C_{<} la coppia (C,\bg_white <_{C})

Dobbiamo verificare le tre proprietà

1) simmetrica

sia \bg_white A_{<} qualsiasi; chiaramente A è segmento iniziale (non proprio) di se stesso, quindi

\bg_white A_{<} \bg_white \preceq \bg_white A_{<}

2) antiriflessiva

dobbiamo dimostrare che se \bg_white A_{<} \bg_white \preceq \bg_white \bg_white B_{<} \bg_white \bg_white B_{<} \bg_white \preceq \bg_white A_{<} allora \bg_white \bg_white B_{<}=\bg_white A_{<}; ma se A è sottoinsieme di B e B sottoinsieme di A  allora A=B.

3) transitiva

dobbiamo provare che da \bg_white A_{<} \bg_white \preceq\bg_white \bg_white B_{<}, \bg_white \bg_white B_{<}\bg_white \preceq \bg_white \bg_white C_{<} segue \bg_white A_{<} \bg_white \preceq\bg_white \bg_white C_{<}

i)\bg_white A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C

ii)la relazione \bg_white \bg_white \leq _{C} ristretta a B coincide con \bg_white \bg_white \leq _{B}; anche la relazione  \bg_white \bg_white \leq _{B} ristretta su A coincide con \bg_white \bg_white \bg_white \leq _{A}; ne segue che \bg_white \bg_white \leq _{C} ristretta su A coincide con \bg_white \bg_white \bg_white \leq _{A}.

iii) se a appartiene ad A e x<A, anche x appartiene ad A (è segmento iniziale di B)

zermelo2Consideriamo ora una  qualsiasi catena C  di elementi di  \bg_white BO:

\bg_white \bg_white \bg_white ( B,\leq _{B})\preceq ( B',\leq _{B' })\preceq ( B'',\leq _{B''})\preceq ( B''',\leq _{B''' })....; sappiamo da un articolo precedente che l'unione di un insieme (collezione,famiglia) di buoni ordini che sono uno un segmento iniziale dell'altro è ancora un buon ordine , quindi un elemento di \bg_white BO, e inoltre tale elemento è un maggiorante per la catena; siamo nelle ipotesi del lemma di Zorn(per ogni catena esiste un maggiorante) quindi esiste un elemento massimale \bg_white \bg_white ( M,\leq _{M})\in BO. Resta da dimostrare che M=X.

Se fosse  \bg_white \bg_white M\subset X, possiamo prendere un elemento \bg_white \gamma \in X\M; Notiamo che \bg_white \gamma è un elemento per così dire "libero", in quanto non è in relazione con alcun elemento di M. Consideriamo l'insieme (sottoinsieme di X) D=M  U {\bg_white \gamma}; definiamo un buon ordine in tal modo, (M  U {\bg_white \gamma},\bg_white \leq) dove poniamo \bg_white \gamma   maggiore di tutti gli elementi di M. In pratica, su M abbiamo l'ordine \bg_white \leq _{M} qualsiasi siamo x,y in M, mentre al più può succedere che uno dei due (o entrambi) siano uguali a \bg_white \gamma.  Ma allora (D,\bg_white \leq) sarebbe un buon ordine, e M segmento iniziale di D,generato da \bg_white \gamma, quindi \bg_white \bg_white \bg_white ( M,\leq _{M})\preceq (D,\leq ); ma allora  \bg_white \bg_white ( M,\leq _{M})\in BO non sarebbe più massimale.

Quindi M=X; ma allora \bg_white \bg_white \bg_white ( X,\leq _{X})\in BO, quindi X è totalmente ordinato.

Conseguenza immediata del teorema di Zermelo è la confrontabilità dei numeri cardinali. 

Riprendiamo un teorema sugli isomorfismi (dimostrato qui) :

Dati due buoni ordini A e B uno dei due è isomorfo ad un segmento iniziale dell'altro (non necessariamente proprio).

Se consideriamo due  insiemi (infiniti) A e B qualsiasi, possiamo applicare ad essi il teorema di Zermelo e  ben ordinarli. Siamo adesso nelle ipotesi del teorema sugli isomorfismi; l'isomorfismo in fin dei conti è una applicazione biunivoca, che in più , nel caso di insiemi ordinati, conserva l'ordine. Il segmento iniziale di un insieme  è anche un sottoinsieme; dire che esiste una applicazione biunivoca di A in un segmento iniziale di B, vuol anche dire che esiste una applicazione biunivoca di A in un sottoinsieme di B (e questo nel caso dei cardinali significa che |A| <=|B|). Il fatto che il segmento iniziale possa non essere proprio si traduce con la possibilità che sia |A|=|B|.

La tricotomia dei numeri cardinali si esprime anche cosi:

Dati due insiemi A,B esistono tre possibilità:

  1. |A|<|B|
  2. |A|>|B|
  3. !A|=|B|

nota (1)

Sebbene non sia mai sottolineato , il fatto che BO non sia vuoto perchè i sottoinsiemi B finiti di X sono ben ordinabili è un punto fondamentale della dimostrazione. Finchè siamo nel finito non ci sono problemi; possiamo dare un ordine in un insieme come vogliamo, mediante una relazione fra elementi  di B X B; per trovare il minimo di un insieme finito , che senz'altro esiste,possiamo applicare l'algoritmo che meglio ci aggrada.

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