5/01/19

Il numero di Nepero è trascendente. Parte seconda ***

Nella prima parte di questa serie di articoli abbiamo lavorato a fondo con gli integrali, arrivando a questo importante risultato:

\fn_cm \int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{n}dt=n!

Cominciamo adesso  la dimostrazione vera e propria della trascendenza di e;

Supponiamo per assurdo che il numero e sia algebrico . Questo significa che   e è radice di una equazione algebrica,di un certo grado n:

\dpi{120} a_{0}+a_{1}\cdot e+a_{2}\cdot e^{2}+....+a_{n}\cdot e^{n}=0  1) dove i coefficienti a0,a1,....an sono dei numeri interi.*

(* in realtà la definizione richiede solo  che siano razionali, starà a noi farli  diventare  interi facendo il denominatore comune dei coefficienti).

Per non confondere le variabili che compaiono nell'integrale sopra, con il grado dell'equazione algebrica n, cambiamo nome alle variabili nell'integrale,  in questo modo:

\dpi{120} \fn_cm \int_{0}^{\infty}e^{-z}\cdot z^{\rho}dz=\rho!

definiamo:

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} I\rho(a)=\int_{a}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} J\rho(b)=\int_{0}^{b}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz

dove a e b sono dei numeri reali, \dpi{120} \rho un qualsiasi numero  intero. Consideriamo adesso \dpi{120} I_{\rho}(0):

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} I\rho(0)=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz

moltiplichiamo la 1) per  \dpi{120} I_{\rho}(0)

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{100} a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot e\cdot I_{\rho}(0)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot I_{\rho}(0)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot I_{\rho}(0)=0

adesso definiamo:

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{1}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot e\cdot I_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot I_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot I_{\rho}(n)

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{2}= a_{1}\cdot e\cdot J_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot J_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot J_{\rho}(n)

Calcoliamo \dpi{120} P_{1}+P_{2} mettendo assieme i termini con gli stessi ai,

cominciamo con a1:

\fn_cm \dpi{120} a_{1}\cdot e\cdot (I_{\rho}(1)+J_{\rho}(1))

\fn_cm \dpi{120} \dpi{120} I_{\rho}(1)+J_{\rho}(1)= \int_{1}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz + \int_{0}^{1}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=I_{\rho}(0)

Per i generico (1<=i<=n)

\fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} I_{\rho}(i)+J_{\rho}(i)= \int_{i}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz + \int_{0}^{i}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=I_{\rho}(0)

(dove abbiamo usatola proprietà degli integrali definiti \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{i} +\int_{i}^{\infty})

quindi i termini che moltiplicano \dpi{120} a_{i}*e^{i}  sommandosi diventano tutti \dpi{120} I_{\rho}(0), pertanto

\dpi{120} P_{1}+P_{2}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot eI_{\rho}(0)+a_{2}\cdot e^{2}I_{\rho}(0)+....+a_{n}\cdot e^{n}I_{\rho}(0)=0

quindi

\dpi{120} \dpi{120} P_{1}+P_{2}= 0. Questa è adesso la nuova condizione di cui dobbiamo dimostrare la falsità, per poter concludere la dimostrazione per assurdo.

La prossima volta lavoreremo sulla definizione e sulle proprietà di P1 e P2.

 

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