Il numero di Nepero è trascendente. Parte seconda ***

Categorie: Matematica Teoria degli insiemi Scritto da: Umberto Cibien Commenti:0

Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica

Nella prima parte di questa serie di articoli abbiamo lavorato a fondo con gli integrali, arrivando a questo importante risultato:

$\fn_cm \int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{n}dt=n!$

Cominciamo adesso la dimostrazione vera e propria della trascendenza di e;

Supponiamo per assurdo che il numero e sia algebrico . Questo significa che e è radice di una equazione algebrica,di un certo grado n:

$\dpi{120} a_{0}+a_{1}\cdot e+a_{2}\cdot e^{2}+....+a_{n}\cdot e^{n}=0$ 1) dove i coefficienti a0,a1,....an sono dei numeri interi.*

(* in realtà la definizione richiede solo che siano razionali, starà a noi farli diventare interi facendo il denominatore comune dei coefficienti).

Per non confondere le variabili che compaiono nell'integrale sopra, con il grado dell'equazione algebrica n, cambiamo nome alle variabili nell'integrale, in questo modo:

$\dpi{120} \fn_cm \int_{0}^{\infty}e^{-z}\cdot z^{\rho}dz=\rho!$

definiamo:

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} I\rho(a)=\int_{a}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz$

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} J\rho(b)=\int_{0}^{b}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz$

dove a e b sono dei numeri reali, $\dpi{120} \rho$ un qualsiasi numero intero. Consideriamo adesso $\dpi{120} I_{\rho}(0)$ :

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} I\rho(0)=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz$

moltiplichiamo la 1) per $\dpi{120} I_{\rho}(0)$

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{100} a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot e\cdot I_{\rho}(0)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot I_{\rho}(0)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot I_{\rho}(0)=0$

adesso definiamo:

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{1}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot e\cdot I_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot I_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot I_{\rho}(n)$

$\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{2}= a_{1}\cdot e\cdot J_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot J_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot J_{\rho}(n)$

Calcoliamo $\dpi{120} P_{1}+P_{2}$ mettendo assieme i termini con gli stessi ai,

cominciamo con a1:

$\fn_cm \dpi{120} a_{1}\cdot e\cdot (I_{\rho}(1)+J_{\rho}(1))$

$\fn_cm \dpi{120} \dpi{120} I_{\rho}(1)+J_{\rho}(1)= \int_{1}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz + \int_{0}^{1}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=I_{\rho}(0)$

Per i generico (1<=i<=n)

$\fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} I_{\rho}(i)+J_{\rho}(i)= \int_{i}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz + \int_{0}^{i}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=\int_{0}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz=I_{\rho}(0)$

(dove abbiamo usatola proprietà degli integrali definiti $\fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{i} +\int_{i}^{\infty}$ )

quindi i termini che moltiplicano $\dpi{120} a_{i}*e^{i}$ sommandosi diventano tutti $\dpi{120} I_{\rho}(0)$ , pertanto

$\dpi{120} P_{1}+P_{2}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot eI_{\rho}(0)+a_{2}\cdot e^{2}I_{\rho}(0)+....+a_{n}\cdot e^{n}I_{\rho}(0)=0$

quindi

$\dpi{120} \dpi{120} P_{1}+P_{2}= 0$ . Questa è adesso la nuova condizione di cui dobbiamo dimostrare la falsità, per poter concludere la dimostrazione per assurdo.

La prossima volta lavoreremo sulla definizione e sulle proprietà di P1 e P2.

L	M	M	G	V	S	D
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Il numero di Nepero è trascendente. Parte seconda ***

Articoli correlati

Lo Jacobiamo e gli integrali doppi. 3: due esempi molto semplici **

(Q) Due quarti di cerchio ***

(Q) Sempre triangoli e rettangoli (con soluzione)**

Lo Jacobiano e gli integrali doppi.2: cambiamento di coordinate ***

Lascia un commento Cancel Reply